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Lexikon der Mathematik: Kompaktheit

Eigenschaft einer Teilmenge, aus beliebigen offenen Überdeckungen endliche Teilüberdeckungen zuzulassen.

Es seien M ein metrischer Raum mit der Metrik d und AM. Eine Familie (Ui, iI) mit einer beliebigen Indexmenge I heißt offene Überdeckung von A, falls alle Mengen Ui bezüglich d offen sind und gilt: \begin{eqnarray}A\subseteq \mathop{\bigcup }\limits_{i\in I}{U}_{i}.\end{eqnarray}

Die Menge A heißt kompakt, wenn es zu jeder offenen Überdeckung von A eine endliche Teilüberdeckung gibt, das heißt, wenn es endlich viele Indizes i1, …, ikI gibt mit der Eigenschaft: \begin{eqnarray}A\subseteq \underset{n=1}{\overset{k}{\displaystyle \bigcup }}{U}_{{i}_{n}}.\end{eqnarray}

Die folgenden Bedingungen sind äquivalent:

  1. A ist kompakt.
  2. Jede Folge in A besitzt einen konvergente Teilfolge, deren Grenzwert in A liegt.
  3. Jede Folge in A besitzt einen Häufungspunkt in A.
  4. Jede abzählbare offene Überdeckung von A enthält eine endliche Teilüberdeckung.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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