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Lexikon der Mathematik: lineares System

Linearsystem, Familie von Cartier-Divisoren auf einer algebraischen Varietät (oder einem analytischen Raum) X, die durch ein Geradenbündel ℒ und einen endlich-dimensionalen Unterraum LH0(X, ℒ) in folgender Weise gegeben ist:

Jedem Schnitt 0 ≠ ϕ ∈ ℒ wird der Divisor div (ϕ, L) zugeordnet. Weiter sei der duale Raum zu L, und Λ = ℙ() der entsprechende projektive Raum, auch mit |ℒ| oder |L| bezeichnet, letzteres wenn L = H0(X, ℒ).

Der projektive Raum Λ = |L| ist Parameterraum der Familie, und ist X × Λ Produkt (über dem Grundkörper) und ℒ⊠𝒪(1) (äußeres) Tensorprodukt der Geradenbündel, so gibt es einen kanonischen Schnitt ϕL. (Ist ϕ0, …, ϕr Basis von L und T0, …, Tr die duale Basis, so ist ϕL = ϕ0T0 + ···+ϕrTr, wofür man auch ϕL = ϕ0T0 +· · ·+ϕrTr schreibt). DL = div (ϕL, ℒ ⊠ 𝒪(1)) ist der universelle Divisor in dem Sinne, daß für jeden Punkt λ ∈ Λ (mit homogenen Koordinaten (λ0, …, λr)) der Durchschnitt

\begin{eqnarray}(X\times \{\lambda \})\cap {D}_{L}={D}_{\lambda }\end{eqnarray}

dem Divisor div (λ0ϕ0 +···+ λrϕr, ℒ) des linearen Systems entspricht. Man schreibt auch Dλ ∈ |L| (anstelle von λ ∈ |L|). dim |L|= r heißt die Dimension des linearen Systems, und |ℒ| heißt das volle lineare System zu ℒ. Ein irreduzibler (Weil-) Divisor V heißt feste Komponente des Systems, wenn alle Schnitte aus L auf V verschwinden, und das Unterschema B, welches durch das Ideal I, das Bild von ℒ−1L → 𝒪X, sϕs(ϕ) definiert wird, heißt Basisort.

Eindimensionale lineare Systeme heißen Büschel. Für diese ist DL = X̃ ⊂ X × ℙ() die Aufblasung von X im Basisort des Büschels, und |L|= ℙ() ist kanonisch isomorph zu ℙ(L).

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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