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Lexikon der Mathematik: Schema

fundamentaler Begriff in der Algebra bzw. algebraischen Geometrie.

Für einen kommutativen Ring A definiert man zunächst einen topologischen Raum \(\mathop{\text{Spec}}\limits_{\_}(A)\), bestehend aus allen Primidealen von A mit der Topologie, deren abgeschlossene Mengen die der Form \(V(I)=\{{\mathfrak{p}}\in \mathop{\text{Spec}}\limits_{\_}(A)|{\mathfrak{p}}\supseteq I\}\) sind (IA eine beliebige Teilmenge, ohne Einschränkung ein Ideal). Mengen der Form \(D(f)=\{{\mathfrak{p}}\in \mathop{\text{Spec}}\limits_{\_}(A)|f\notin {\mathfrak{p}}\}\) (fA ein beliebiges Element) sind offen und bilden eine Basis der Topologie. Wenn \(X=(\mathop{X}\limits_{\_},{{\mathscr{O}}}_{X})\) ein Cartanscher Raum ist, d. h., \(\mathop{X}\limits_{\_}\) ist ein topologischer Raum, \({{\mathscr{O}}}_{X}\) eine Garbe auf X, und \(A={{\mathscr{O}}}_{X}(X)\), so erhält man eine stetige Abbildung \begin{eqnarray}\mathop{X}\limits_{\_}\to \mathop{\text{Spec}}\limits_{\_}(A),\,\,\,x\mapsto {{\mathfrak{p}}}_{x}=\text{Ker}(A\to {{\mathscr{O}}}_{X,x}/{{\mathfrak{m}}}_{X,x})\end{eqnarray}\(({{\mathfrak{m}}}_{X,x}=\text{Maximalideal in}\,{{\mathscr{O}}}_{X,x})\) und einem Homomorphismus lokaler Ringe \({A}_{{{\mathfrak{p}}}_{x}}\to {{\mathscr{O}}}_{X,x}\).

Einen Cartanschen Raum mit der Eigenschaft, daß die Abbildung \(\mathop{X}\limits_{\_}\to \mathop{\text{Spec}}\limits_{\_}(A)\) ein Homöomorphismus ist und die Abbildungen \({A}_{{{\mathfrak{p}}}_{x}}\to {{\mathscr{O}}}_{X,x}\) Isomorphismen sind, nennt man ein affines Schema. Die affinen Schemata bilden eine volle Unterkategorie der Kategorie Cartanscher Räume, und der Kofunktor \(X\mapsto \Gamma (X)={{\mathscr{O}}}_{X}(X)\) ist eine Äquivalenz zwischen dieser Kategorie und der zur Kategorie kommutativer Ringe dualen Kategorie: Einem kommutativen Ring A entspricht das affine Schema Spec(A) = X mit dem zugrundeliegenden Raum \(\mathop{\text{Spec}}\limits_{\_}(A)\) und der Garbe \({{\mathscr{O}}}_{X}\), die auf offenen Mengen der Form U = D(f) durch \({{\mathscr{O}}}_{X}(U)\to {A}_{f}\) gegeben wird. Jeder Ringhomomorphismus AB induziert einen Morphismus Cartanscher Räume Spec(B) → Spec(A). Für jeden kommutativen Ring ist die natürliche Abbildung ϕϕ*, \begin{eqnarray}\text{Hom}(X,\text{Spec}(A))\to \text{Hom(}A,\,\,{\rm{\Gamma }}(X)\text{)}\end{eqnarray} bijektiv.

Ein Beispiel: \({{\mathbb{A}}}^{n}=\text{Spec}\,({\mathbb{Z}}[{T}_{1},\ldots,{T}_{n}])\) affiner Raum über ℤ, \(\text{Hom}\,\text{(}X,{{\mathbb{A}}}^{n}\text{)}={\rm{\Gamma }}{(X)}^{n}\).

Ein Cartanscher Raum X, der lokal isomorph zu affinen Schemata ist (d. h., daß jeder Punkt eine offene Umgebung U besitzt, so daß \((U,\,{{\mathscr{O}}}_{X}|U)\) affines Schema ist), heißt Schema, wobei üblicherweise auch noch die Separiertheit gefordert wird: Sind U, U′ affine offene Unterschemata, so auch UU′, und die natürliche Abbildung \begin{eqnarray}{{\mathscr{O}}}_{X}(U)\otimes {{\mathscr{O}}}_{X}({U}^{\prime})\to {{\mathscr{O}}}_{X}(U\cap {U}^{\prime})\end{eqnarray} ist surjektiv. Die Kategorie der Schemata ist die volle Unterkategorie der Kategorie Cartanscher Räume, deren Objekte Schemata sind. In dieser Kategorie existieren Produkte und Faserprodukte, z. B. ist \begin{eqnarray}\text{Spec}(A){\times }_{\text{Spec}(R)}\text{Spec}(B)=\text{Spec}(A{\otimes }_{R}B).\end{eqnarray}

Ein abgeschlossener Cartanscher Unterraum Y eines Schemas X heißt abgeschlossenes Unterschema, wenn Y selbst Schema ist. Die abgeschlossenen Unterschemata entsprechen umkehrbar eindeutig den quasikohärenten Idealgarben \(I\subset {{\mathscr{O}}}_{X}\), dem Unterschema YX entspricht die Idealgarbe \({I}_{Y}=\ker ({{\mathscr{O}}}_{X}\to {i}_{* }{O}_{Y})\) (i : YX die Einbettung). Das zu einer quasikohärenten Idealgarbe I gehörige Unterschema heißt auch das Nullstellenschema von I und wird oft mit V(I) bezeichnet.

Die Menge der abgeschlossenen Unterschemata ist halbgeordnet bzgl. der Inklusion, und X ist Noethersch, wenn in dieser Halbordnung die Minimalbedingung gilt (d.h., jedes nichtleere System von abgeschlossenen Unterschemata enthält minimale Elemente). Demgegenüber heißt X Artinsch, wenn in dieser Halbordnung die Maximalbedingung gilt. Dies sind genau die Schemata der Form Spec (A) mit einem Noetherschen Ring A, in dem jedes Primideal maximal ist.

In jedem Schema X gibt es genau ein minimales abgeschlossenes Unterschema mit dem gleichen zugrundeliegenden Raum wie X, bezeichnet als XredX, es ist auch durch die Eigenschaft \begin{eqnarray}{{\mathscr{O}}}_{X,x}/\sqrt{0}\mathop{\to }\limits^{\sim }{{\mathscr{O}}}_{{X}_{\text{red}},x}\end{eqnarray} für alle xX charakterisiert, wobei \(\sqrt{0}\subseteq {{\mathscr{O}}}_{X,x}\) das Nilradikal, d. h. die Menge aller nilpotenten Elemente, bezeichnet.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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