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Zufallsmatrizen: Neue universelle Gesetze

In den verschiedensten Bereichen, von der Wirtschaft über die Geometrie bis hin zur Stringtheorie, haben Wissenschaftler in scheinbar zufälligen Ereignissen verblüffende Gesetzmäßigkeiten entdeckt.
Phasenporträt der Ramanujan-Kettenbruchfunktion

Erratum

In der Bildunterschrift auf S. 21 muss die Formel für die Dichte der gaußschen Normalverteilung exp(–x2/(2σ2)) (nicht nur 2σ) lauten.

Was haben die Wartezeiten zwischen zwei U-Bahnen, die Energieniveaus schwerer Atomkerne, die Verteilung der Primzahlen, die Stringtheorie, Tsunamis, Börsenkurse, Mobilfunkantennen, die Anordnung der Bäume in Urwäldern, die Boardingzeit von Flugreisenden, geometrische Flächen, Kristalle und elektrische Leitfähigkeit gemeinsam? Als Wissenschaftler diese und weitere vollkommen unterschiedliche Phänomene untersuchten, stießen sie auf überraschende Parallelen, die mit so genannten Zufallsmatrizen zusammenhängen.

Diese Objekte vereinen ein weit verbreitetes mathematisches Werkzeug, die Matrizen, mit dem allgegenwärtigen Element des Zufalls. Obwohl man Letzteren häufig mit Unregelmäßigkeit und Unvorhersehbarkeit assoziiert, bergen Zufallsmatrizen eine unerwartete Ordnung: Unabhängig von dem speziellen Phänomen, das sie beschreiben sollen, legen sie ein universelles Verhalten an den Tag.

Erste Hinweise auf Zufallsmatrizen reichen bis in das Jahr 1928 zurück, als der schottische Mathematiker John Wishart mit ihrer Hilfe statistische Daten untersuchte. Doch erst die Arbeiten des ungarisch-US-amerikanischen Physikers Eugene Wigner, in denen er die Energieniveaus schwerer Atomkerne analysierte, weckten Mitte der 1950er Jahre das allgemeine wissenschaftliche Interesse.

In der Folge stellten theoretische Physiker fest, dass Zufallsmatrizen mit mehreren anderen Problemen zusammenhängen. Die Durchbrüche, die sie in den 1970er bis 1990er Jahren erzielten, erregten die Aufmerksamkeit etlicher Mathematiker und Experten anderer Bereiche. Bald stellte sich heraus, dass Zufallsmatrizen faszinierende Eigenschaften besitzen und in den unterschiedlichsten wissenschaftlichen Disziplinen auftauchen. Mittlerweile sind sie intensiv bearbeitete Forschungsgegenstände geworden …

Oktober 2018

Dieser Artikel ist enthalten in Spektrum der Wissenschaft Oktober 2018

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  • Quellen

Anderson, G. W. et al.: An Introduction to Random Matrices.Cambridge University Press, 2009

Eynard, B. et al.: Lecture on Random Matrices. arXiv 1510.04430, 2015

Eynard, B., Orantin, N.: Algebraic Methods in Random Matrices and Enumerative Geometry. arXiv 0811.3531, 2008

Mehta, M. L.: Random Matrices. Elsevier/Academic Press, 2004