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Eine kurze Geschichte des Unendlichen

Der Begriff Unendlichkeit, obwohl auf vielfältige Weise durchdacht, war stets rätselhaft. Selbst seine nun unter Mathematikern allgemein akzeptierte Deutung, die auf Georg Cantor zurückgeht, ist nicht unbedingt der Weisheit letzter Schluß.

Mehr als zwei Jahrtausende lang waren die Mathematiker – wie die meisten Menschen – nicht sicher, was sie vom Unendlichen halten sollten. Antike und mittelalterliche Denker hatten mehrere Paradoxien ersonnen, die zu beweisen schienen, daß man mit diesem Begriff nicht unbefangen umgehen dürfe. Doch in den siebziger Jahren des vorigen Jahrhunderts schuf der deutsche Mathematiker Georg Cantor (1845 bis 1918) die transfinite Mathematik und löste damit anscheinend alle Rätsel, die das Unendliche in sich barg: Er zeigte, daß unendliche Zahlen existieren, daß sie unterschiedlich groß sind und daß man damit die Größe unendlicher Mengen zu messen vermag. Aber war damit wirklich jeder Zweifel an der mathematischen Bedeutung des Unendlichen ausgeräumt? Die meisten Fachleute würden diese Frage heute bejahen; ich möchte hingegen die These vertreten, daß Cantor die Zweifel eher verstärkt hat. Das Mißtrauen der Mathematiker gegen das Unendliche geht auf den antiken Philosophen Zenon von Elea (um 490 bis 430 vor Christus) zurück, der das berühmte Paradoxon von Achilles und der Schildkröte formulierte (siehe "Eine Lösung für Zenons Paradoxien" von William I. McLaughlin, Spektrum der Wissenschaft, Januar 1995, Seite 66). Der athletische Halbgott fordert das langsame Reptil zum Wettlauf heraus und gewährt ihm gnädig einen Vorsprung. Bevor er die Schildkröte überholen kann, muß er zunächst einmal ihren Startpunkt erreichen, und unterdessen ist auch sie ein wenig vorangekommen. Während er diesen Abstand überwindet, rückt sie wiederum ein Stück vor – und so geht es unendlich viele Streckenabschnitte weiter. Anscheinend vermag Achilles die Schildkröte niemals zu überholen. Mit einem ähnlichen Argument behauptete Zenon, man könne überhaupt kein Ziel erreichen: Zuerst müsse man bis zur Hälfte der Rennstrecke laufen, dann zur Markierung drei Viertel, dann zu der von sieben Achteln, und so fort und fort. Zenon schloß daraus nicht nur, daß jegliche Bewegung unmöglich sei, sondern auch, daß man den Begriff des Unendlichen tunlichst meiden solle. Auch der griechische Philosoph und Astronom Eudoxos (408 bis 355 vor Christus) mißtraute diesem Begriff und entwickelte, um ihn in gewissen geometrischen Zusammenhängen zu umgehen, die sogenannte Exhaustionsmethode. Der Mathematiker Archimedes (um 285 bis 212 vor Christus) berechnete mit diesem Verfahren etwa 100 Jahre später die genaue Fläche des Kreises, ausgehend von der Formel für den Flächeninhalt eines regelmäßigen n-seitigen Vielecks , das einem Kreis K einbeschrieben ist. Im Kasten auf Seite 66 weiche ich allerdings vom weiteren Beweisgang des Archimedes ab, indem ich behaupte, die Formel für das Vieleck lasse sich auf den Kreis selbst anwenden, weil man ihn als Vieleck mit unendlich vielen unendlich kleinen Seiten auffassen könne. Diese Darstellung wirkt zwar plausibel, hätte aber Archimedes selbst nicht zufriedengestellt. Wir dürfen "Unendlich" nicht unkritisch so verwenden, als sei es bloß eine ungewöhnlich große natürliche Zahl. Zwar gilt, daß sich mit wachsendem n immer enger an den Kreis K anschmiegt; es ist aber genauso wahr, daß sich, je größer n ist, desto besser einem Kreis mit einer Ausbuchtung – nennen wir ihn – annähert. Anschaulich gesehen ist der Dreh- und Angelpunkt der Argumentation, daß K und nicht sein deformiertes Gegenstück die Grenze bildet, gegen welche die Vielecke streben. Dennoch ist schwer einzusehen, wie man diesen Eindruck begrifflich fassen kann, ohne wiederum K quasi als Unendlich-Eck aufzufassen. Archimedes fand eine Lösung. Er zeigte den prinzipiellen Unterschied zwischen K und , indem er folgendes bewies: Zu jedem noch so kleinen Flächeninhalt (der kleine griechische Buchstabe Epsilon) gibt es immer eine genügend große natürliche Zahl n, so daß der Flächeninhalt von sich von demjenigen von K um weniger als unterscheidet. Für hingegen gilt das Entsprechende nicht. Mit diesem Resultat – und mit dem analogen Ergebnis für umbeschriebene Vielecke sowie einer verfeinerten Version des obigen Gedankengangs – konnte Archimedes, ohne das Unendliche zu verwenden, schließlich beweisen, daß die Fläche des Kreises gleich ist.

Aktual und potentiell Unendliches

Obgleich Archimedes bei dieser Berechnung dem Unendlichen erfolgreich ausgewichen war, stießen die Pythagoreer – eine von dem griechischen Philosophen Pythagoras (um 570 bis 497 vor Christus) gegründete mystische Geheimgesellschaft – auf einen Fall, in dem am Unendlichen kein Weg mehr vorbeiführte. Diese Entdeckung erschütterte ihren Glauben an zwei grundlegende kosmologische Prinzipien: Peras, die Grenze, die alles Gute umfaßt, und Apeiron, das Unbegrenzte oder Unendliche, das für alles Schlechte steht. Für die Pythagoreer beruhte die gesamte Schöpfung letztlich auf Verhältnissen natürlicher Zahlen; darin komme, so meinten sie, die Tatsache zum Ausdruck, daß Peras stets Apeiron unterwerfe. Doch nach dem berühmten Satz des Pythagoras ist beim rechtwinkligen Dreieck das Quadrat über der längsten Seite gleich der Summe der Quadrate über den beiden anderen Seiten, und daraus folgt, daß die Diagonale eines Quadrats sich zu jeder Seite wie zu 1 verhält; denn es gilt . Wäre Peras allgegenwärtig, müßte dieses Verhältnis sich in der Form p durch q ausdrücken lassen, wobei p und q natürliche Zahlen wären. Dies erweist sich aber als unmöglich. Nehmen wir an, das Verhältnis zweier natürlicher Zahlen p und q – also p geteilt durch q – sei gleich ; p und q sollen keinen gemeinsamen Teiler haben, der größer als 1 ist (andernfalls könnten wir durch diesen kürzen). Dann ist aber das Doppelte von . Folglich ist gerade, was bedeutet, daß p selbst ebenfalls gerade sein muß. Also kann q nur ungerade sein, denn andernfalls wäre 2 ein gemeinsamer Teiler von p und q. Wenn aber p gerade ist, gibt es eine natürliche Zahl r, die genau die Hälfte von p ist: p=2r. Deshalb gilt oder , was wiederum besagt, daß gerade ist und damit auch q selbst. Das ist aber ein Widerspruch zur Forderung, daß p und q teilerfremd sein sollen. Für die Pythagoreer war dieses Ergebnis eine Katastrophe. (Nach der Legende soll einer von ihnen zur Strafe dafür, daß er es ausgeplaudert hatte, Schiffbruch erlitten haben.) Sie waren auf eine sogenannte irrationale Zahl gestoßen. Damit war die vermeintliche Allmacht der natürlichen Zahlen gebrochen, denn mitten unter ihnen machte sich das Unendliche breit. Tatsächlich würde ein moderner Mathematiker als eine Art "unendliches Objekt" ansehen: Die zugehörige Dezimalzahl hat nicht nur unendlich viele Stellen, sondern ist auch nicht periodisch – die Ziffern gehorchen keinem wiederkehrenden endlichen Muster. Im 4. vorchristlichen Jahrhundert behandelte Aristoteles (384 bis 322 vor Christus) ein allgemeineres Problem. Einerseits sehen wir uns gezwungen, das Unendliche anzuerkennen; denn abgesehen vom Charakter der Zahl scheint die Zeit sich ins Unendliche zu erstrecken, die natürlichen Zahlen nehmen kein Ende, und anscheinend sind Raum, Zeit und Materie unbeschränkt teilbar. Andererseits sprechen verschiedene Gründe – nicht zuletzt die Zenonschen Paradoxien – dafür, das Unendliche zu verwerfen. Aristoteles fand für dieses Dilemma eine meisterhafte Lösung, indem er zwei Arten von Unendlichkeit unterschied: das Aktual-Unendliche als diejenige Unendlichkeit, die zu einem bestimmten Zeitpunkt fix und fertig existiert, und das Potentiell-Unendliche, das im Laufe der Zeit immer weiter zunimmt. Alle Einwände gegen das Konzept "unendlich" beziehen sich laut Aristoteles auf das Aktual-Unendliche; hingegen sei das Potentiell-Unendliche ein grundlegendes Charakteristikum der Wirklichkeit, das bei jedem niemals endenden Vorgang anerkannt werden müsse – etwa beim Zählen, beim Teilen der Materie und beim Vergehen der Zeit. Durch die Unterscheidung von zweierlei Unendlichkeit ließen sich die Zenonschen Paradoxien auflösen. Das Durchqueren eines räumlichen Gebiets bedeutet demnach nicht, daß man eine Aktual-Unendlichkeit von Teilgebieten überwinden muß; das wäre allerdings unmöglich. Vielmehr durchquert man eine potentielle Unendlichkeit von Teilgebieten in dem Sinne, daß der Vorgang der Teilung des Raumes niemals ein Ende haben kann; diese Schlußfolgerung ist aber glücklicherweise harmlos. Die aristotelische Unterscheidung zwischen Aktual- und Potentiell-Unendlichem galt lange als unumstößlich. Dennoch interpretierten die Gelehrten die Rolle der Zeit in dieser Frage als eine Metapher für etwas noch Tieferes und Abstrakteres. Die Bedeutung von Existenz "zu einem bestimmten Zeitpunkt" und "im Laufe der Zeit" erweiterte sich immer mehr. Indem man das Aktual-Unendliche ablehnte, stellte man zugleich die Idee in Frage, etwas könne eine Eigenschaft haben, die jedes endliche Maß übertrifft. Damit leugnete man, daß das Unendliche selbst ein legitimer Gegenstand der Erkenntnis sein könne. Rund 2000 Jahre später stellte sich das Problem des Aktual- und Potentiell-Unendlichen erneut bei der Entwicklung der Infinitesimalrechnung. Deren Anfänge in den Werken von Isaac Newton (1643 bis 1727) und Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 bis 1716) fielen weit hinter die strengen Maßstäbe der antiken Denker zurück. Die Mathematik des 17. und 18. Jahrhunderts hantierte völlig unbekümmert mit Infinitesimalen, das heißt mit unmeßbar kleinen Größen. Manchmal setzte man sie einfach gleich null: Wurden sie beispielsweise zu einer Zahl addiert, blieb deren Wert unverändert. Dann wieder – etwa, wenn durch Infinitesimale dividiert wurde – galten sie als von null verschieden. Der französische Mathematiker Guillaume François Antoine de l'Hôpital (1661 bis 1704) schrieb im Jahre 1696: "Eine Kurve kann aufgefaßt werden, als sei sie aus unendlich vielen unendlich kleinen Strecken zusammengesetzt; oder ... als Vieleck mit unendlich vielen Seiten." Erst im 19. Jahrhundert griffen der französische Mathematiker Augustin-Louis Cauchy (1789 bis 1857) und der deutsche Mathematiker Karl Weierstraß (1815 bis 1897) die Exhaustionsmethode wieder auf und gaben der Infinitesimalrechnung eine sichere Grundlage.

Unendlichkeit und Gleichmächtigkeit

Dank der Arbeiten von Cauchy und Weierstraß fühlten sich die meisten Mathematiker durch die Paradoxien Zenons kaum noch bedroht. Beunruhigender fanden sie eine Familie von Paradoxien, die im Mittelalter beim Problem der sogenannten Gleichmächtigkeit aufgetaucht war. Damit ist folgendes gemeint: Lassen sich die Elemente einer Menge ausnahmslos mit den Elementen einer zweiten Menge zu Paaren ordnen, so müssen beide Mengen gleich viele Elemente haben; beispielsweise muß es in einer Gesellschaft, die keine Vielehe zuläßt, genau so viele Ehemänner wie Ehefrauen geben. Dieses Prinzip ist anscheinend über jeden Zweifel erhaben. Doch wenn man es auf unendliche Mengen anwendet, scheint es einem Grundsatz zu widersprechen, den erstmals der griechische Mathematiker Euklid (um 300 vor Christus) aufgestellt hat: Das Ganze ist stets größer als jeder seiner Teile. Zum Beispiel lassen sich die natürlichen Zahlen den geraden Zahlen paarweise zuordnen: 1 zu 2, 2 zu 4, 3 zu 6 und so weiter – trotz der Tatsache, daß die natürlichen Zahlen die geraden enthalten. Die Denker des Mittelalters fanden viele Beispiele dieser Art, unter anderem auch geometrische. So grübelte der schottische Scholastiker Johannes Duns Scotus (1266 bis 1308) über dem Problem zweier konzentrischer Kreise: Alle Punkte auf dem kleineren lassen sich allen Punkten des größeren paarweise zuordnen; dasselbe gilt für zwei Kugeln (Bild 2). Rund 350 Jahre später diskutierte Galileo Galilei (1564 bis 1642) die paarweise Zuordnung von natürlichen Zahlen zu Quadraten ganzer Zahlen. Daran ist folgendes besonders verblüffend: Betrachtet man immer längere Abschnitte in der Folge der natürlichen Zahlen, so strebt der Anteil der darin vorkommenden Quadratzahlen gegen null; dennoch läßt sich die paarweise Zuordnung unbegrenzt fortsetzen. Angesichts dieser Schwierigkeiten ist es gewiß verlockend, unendliche Mengen völlig zu verwerfen. Allgemeiner gesagt, man ist versucht, mit Aristoteles zu bestreiten, daß sich unendlich viele Dinge auf einen Schlag zu einem fertigen Ganzen zusammenfassen lassen. Doch schließlich erschütterte Cantor das aristotelische Dogma. In brillanten Arbeiten erledigte er die Paradoxien und formulierte eine geschlossene, systematische und präzise Theorie des Aktual-Unendlichen, die jeder Kritik standzuhalten vermochte. Cantor akzeptierte das Prinzip der paarweisen Zuordnung und seine Umkehrung: Zwei Mengen sind nur dann gleichmächtig, wenn man ihre Elemente miteinander paaren kann. Folglich bejahte er, daß es genau so viele gerade natürliche Zahlen gibt wie natürliche Zahlen überhaupt (und analog bei den anderen Paradoxien). Wir wollen versuchsweise – und gemäß heutigem mathematischem Brauch – diesem Satz folgen. Wenn das Prinzip besagt, daß das Ganze nicht größer sei als seine Teile, soll uns das recht sein. Wir können damit sogar das Unendliche definieren, zumindest soweit es Mengen betrifft: Eine Menge ist unendlich, wenn sie nicht größer ist als einer ihrer Teile. Genauer gesagt heißt eine Menge unendlich, wenn sie genau so viele Elemente hat wie eine ihrer echten Teilmengen. Sind die Dinge erst einmal in diesem Sinne geklärt, bleibt noch die Frage offen, ob alle unendlichen Mengen gleichmächtig sind. Cantors Werk verdankt seine Wirkung vor allem dem Nachweis, daß dem nicht so ist: Es gibt unterschiedliche unendliche Mächtigkeiten. Diese Aussage folgt aus dem sogenannten Cantorschen Satz: Keine Menge – insbesondere keine unendliche – hat so viele Elemente wie Teilmengen. Also ist keine Menge gleichmächtig zur Menge ihrer Teilmengen. Um das einzusehen, nehmen wir probeweise das Gegenteil an und unterstellen, man könnte alle Elemente einer Menge allen ihren Teilmengen paarweise zuordnen. Dann würden manche Elemente mit Teilmengen gepaart, in denen sie enthalten sind; bei anderen wäre das nicht der Fall. Betrachten wir nun die Menge all jener Elemente, die nicht in der ihnen zugeordneten Menge enthalten sind. Dieser Menge läßt sich kein Element paarweise zuordnen, ohne daß ein Widerspruch entsteht. Dieses Argument läßt sich in einem Diagramm darstellen, wobei ich mich der Einfachheit halber auf die Menge der natürlichen Zahlen beschränken will (Bild 3). Jede ihrer Teilmengen läßt sich durch eine unendliche Folge von Jas und Neins darstellen, die angeben, ob die natürliche Zahl 1, 2, 3, 4, 5 und so weiter zur Teilmenge gehört oder nicht. Zum Beispiel steht die Folge für die Menge der geraden Zahlen. Für die Menge der ungeraden Zahlen erhalten wir hingegen , für die Menge der Primzahlen und für die Menge der Quadratzahlen . Auf diese Weise läßt sich ganz allgemein jede Zuordnung von beliebig vielen verschiedenen Teilmengen zu den einzelnen natürlichen Zahlen als unendliches Quadrat aus Jas und Neins darstellen. Um zu beweisen, daß es mindestens eine Teilmenge gibt, die in dieser Liste von Teilmengen nirgends auftaucht, bilden wir eine neue Teilmenge, indem wir die Diagonale des quadratischen Schemas entlangwandern und dort sukzessive jedes Ja durch ein Nein ersetzen beziehungsweise umgekehrt. Im abgebildeten Beispiel erhalten wir , und das ergibt schon die gewünschte Teilmenge. Denn aufgrund ihrer Konstruktion unterscheidet sie sich von der ersten Teilmenge hinsichtlich der Zugehörigkeit der 1, von der zweiten bezüglich der 2, von der dritten bezüglich der 3, und so weiter. Man mag eine hübsche historische Parallele darin sehen, daß ähnlich wie einst die Pythagoreer auch Cantor durch Konstruktion einer Diagonalen eine Unendlichkeit jenseits der natürlichen Zahlen fand. Später entwickelte er die unendlichen Kardinalzahlen, mit denen sich die Größe unendlicher Mengen messen läßt. Nachdem er seine Begriffe definiert hatte, untersuchte er, wie man solche Zahlen addiert, multipliziert, potenziert und so weiter, erfand also sogar eine Art Arithmetik dafür.

Cantors Kontinuumshypothese

Die Arbeiten dieses Mathematikers zeugen von höchster Meisterschaft; aber selbst in dem von ihm gesteckten Rahmen bleiben Schwierigkeiten, deren bekannteste wohl das Kontinuumsproblem ist: Wie wir gesehen haben, ist die Menge der natürlichen Zahlen kleiner als die Menge all ihrer Teilmengen – aber um wieviel kleiner? Gibt es eine Menge, deren Größe dazwischen liegt?

Cantors eigener Vorschlag besagt: Eine derartige Menge gibt es nicht. Er vermochte aber seine Hypothese letztlich weder zu beweisen noch zu widerlegen.

Später hat sich herausgestellt, daß die Lage noch viel schwieriger ist, als Cantor ahnte. Selbst mit sämtlichen akzeptierten Methoden der modernen Mathematik läßt sich das Problem nicht entscheiden. Dies wiederum weckt prinzipielle Zweifel an der eindeutigen Interpretierbarkeit des Cantorschen Konzepts. Die Frage, ob die Kontinuumshypothese wahr sei, gleicht vielleicht der, ob Hamlet Linkshänder war. Möglicherweise wissen wir prinzipiell zu wenig, um eine Antwort formulieren zu können. Wenn dem so wäre, sollten wir erneut untersuchen, wie gut Cantors Werk das Aktual-Unendliche gezähmt hat.

Noch folgenschwerer sind Fragen, die sich um die Menge aller Mengen ranken. Nach dem Cantorschen Satz muß diese Menge kleiner sein als die Menge aller Teilmengen der Menge aller Mengen. Aber halt! Mengen von Teilmengen sind selbst Mengen, und darum folgt, daß die Menge aller Mengen kleiner sein muß als eine echte Teilmenge ihrer selbst. Doch das ist unmöglich: Das Ganze kann genau so groß sein wie einer seiner Teile, aber es kann nicht kleiner sein.

Wie entkam Cantor dieser Falle? Mit bewundernswerter Standhaftigkeit bestritt er, daß es so etwas wie die Menge aller Mengen überhaupt gebe. Den Grund dafür lieferte folgende Vorstellung von Mengen: Es gibt Dinge, die keine Mengen sind, dann gibt es Mengen solcher Dinge, dann gibt es Mengen von Mengen von Dingen, dann Mengen hiervon, und so weiter ohne Ende. Jede Menge gehört zu einer weiteren Menge – aber niemals kommt eine Menge, zu der alle Mengen gehören.

Cantors Überlegung mag ein bißchen an den Haaren herbeigezogen scheinen; aber gänzlich kommt man um ein Argument dieser Art nicht herum, wie der britische Mathematiker und Philosoph Bertrand Russell (1872 bis 1970) im Jahre 1901 entdeckte. Sein Gedankengang betrifft die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst als Element enthalten. Nennen wir diese Menge R. Zum Beispiel gehört die Menge aller Mäuse zu R: Sie ist kein Element ihrer selbst, weil sie eine Menge ist und keine Maus. Russells Paradoxon ergibt sich aus der Frage, ob R Element von sich selbst sein kann. Wenn ja, so gehört R nach der Definition von R nicht zu R. Wenn nein, so erfüllt R die Bedingung für die Zugehörigkeit zu R und gehört folglich zu R.

Wie immer man auch Mengen auffaßt, es gibt stets etwas Anstößiges an der Menge R. Nach Cantors Ansicht – wonach keine Menge zu sich selbst gehören kann – müßte R, falls es existierte, die Menge aller Mengen sein. Diese Schlußfolgerung läßt Cantors Sichtweise und die daraus resultierende Ablehnung von R plausibel erscheinen.


Cantor und Aristoteles

Doch ist dieser Standpunkt nicht verblüffend aristotelisch? Man beachte die zeitliche Metaphorik: Die Mengen werden vorgestellt, als entstünden sie quasi erst nach ihren Elementen – und zwar so, daß dieser Entstehungsvorgang immerfort weitergeht. Ihrer aller kollektive Unendlichkeit – im Gegensatz zur Unendlichkeit irgendeines Mitglieds – ist nicht aktual, sondern potentiell.

Und trägt nicht eigentlich nur diese kollektive Unendlichkeit den Namen zu Recht? Normalerweise versteht man unter dem Unendlichen das Endlose, Unbegrenzte, Unüberschaubare und Unmeßbare. Kaum jemand würde sagen, daß die mathematische Definition einer unendlichen Menge diesem intuitiven Verständnis entspricht. Gemäß dem Cantorschen Bild läßt sich so etwas wie Unermeßlichkeit viel eher der gesamten Hierarchie zuschreiben als einer ihrer speziellen Mengen.

In gewissem Sinne hat Cantor gezeigt, daß etwa die Menge der natürlichen Zahlen "eigentlich" endlich ist und daß das "eigentlich" Unendliche erst jenseits davon beginnt (er selbst war solchen Formulierungen nicht abgeneigt). Ironischerweise scheint Cantors Werk der aristotelischen Orthodoxie – derzufolge "echte" Unendlichkeit niemals aktual sein kann – starke Gründe geliefert zu haben.

Einige Gelehrte haben meiner These, in Cantors Begriffswelt sei die Menge der natürlichen Zahlen "eigentlich" endlich, widersprochen. Sie wenden ein, daß diese Behauptung nicht nur vom gängigen mathematischen Sprachgebrauch abweiche, sondern auch – entgegen meiner Behauptung – von dem, was die meisten Leute sagen würden.

Gewiß würden die meisten Mathematik-Laien zunächst behaupten, die Menge der natürlichen Zahlen sei "wirklich" unendlich; aber das zeigt nur, daß sie Cantors Ergebnisse nicht kennen. Sie würden auch bestreiten, daß eine unendliche Menge größer sein kann als eine andere.

Mir kommt es freilich nicht darauf an, was die meisten Leute sagen, sondern was sie unter ihren Begriffen verstehen – und wie dieses Verständnis am besten mit dem von Cantor ausgelösten Schock fertigzuwerden vermag. Dabei ist nichts von vornherein zwingend vorgegeben: Wir können behaupten, einige unendliche Mengen seien größer als andere. Wir können sagen, die Menge der natürlichen Zahlen sei endlich. Wir können uns beider Behauptungen enthalten und bestreiten, daß es die Menge der natürlichen Zahlen überhaupt gibt.

Soweit es darum geht, bestimmte Resultate der gebräuchlichen Mathematik zu formulieren, bin ich durchaus dafür, bei der mathematischen Standard-Terminologie zu bleiben. Aber ich möchte Mathematiker und andere Wissenschaftler auffordern, besonders vorsichtig zu sein, wenn sie die Cantorschen Ergebnisse mit den traditionellen Auffassungen der Unendlichkeit zusammenbringen. In dieser Frage ist das letzte Wort noch nicht gesprochen.

Literaturhinweise

- Die Ufer der Unendlichkeit. Von Rudy Rucker. Wolfgang Krüger Verlag, Frankfurt 1989.

– The Infinite. Von A. W. Moore. Routledge, 1990.

– To Infinity and Beyond. A Cultural History of the Infinite. Von Eli Maor. Birkhäuser, Basel 1987.

– Infinity. Herausgegeben von A. W. Moore. Dartmouth, 1993.

– Understanding the Infinite. Von Shaughan Lavine. Harvard University Press, 1994.

– Geschichte der Analysis. Von Klaus Volkert. Bibliographisches Institut, Mannheim 1988.


Aus: Spektrum der Wissenschaft 6 / 1995, Seite 64
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