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Zahlentheorie: Hochempfindliche Primzahlen

Auch wenn sie bisher kein konkretes Beispiel dafür finden konnten, haben Mathematiker die Existenz einer weit verbreiteten Art von Primzahlen bewiesen. Ihre Unteilbarkeit geht allerdings bereits bei der kleinsten Veränderung verloren.
Ein Haufen Pappkärtchen mit verschiedenen Ziffern und Rechensymbolen.

294 001, 505 447 und 584 141: Fällt Ihnen etwas Besonderes an diesen Zahlen auf? Vielleicht haben Sie erkannt, dass es sich um Primzahlen handelt – aber tatsächlich besitzen sie eine weitere erstaunliche Eigenschaft. Verändert man eine der Ziffern in eine beliebige andere, dann haben sie plötzlich (neben eins und sich selbst) zusätzliche Teiler. Ersetzt man beispielsweise die 1 in 294 001 durch eine 7, lässt sich das Ergebnis restlos durch sieben dividieren; verwandelt man die 1 hingegen in eine 9, ist das Resultat durch drei teilbar.

Solche Zahlen heißen schwache Primzahlen – und sind relativ junge Forschungsobjekte. 1978 fragte sich der Mathematiker Murray Klamkin (1921-2004) erstmals, ob es Primzahlen mit derartigen Merkmalen gibt. Sein berühmter ungarischer Kollege Paul Erdős (1913-1996) fand kurz darauf eine Antwort. Er bewies, dass unendlich viele schwache Primzahlen existieren – und zwar in jedem beliebigen Zahlensystem, etwa unter den binären Zahlen zur Basis zwei. Seither gab es auf dem Gebiet mehrere Fortschritte. Wie der Fields-Medaillen-Gewinner Terence Tao 2011 beispielsweise zeigte, ist ein »positiver Anteil« der Primzahlen schwach, das heißt, ihr durchschnittlicher Abstand bleibt in etwa gleich – sie werden unter wachsenden Primzahlen nicht seltener.

Angesichts dieser Ergebnisse hat Michael Filaseta von der University of South Carolina das Konzept weiterentwickelt und ist dabei auf eine neue Klasse von Primzahlen gestoßen. Er fragte sich, was passiert, wenn man eine unendliche Kette vorangehender Nullen mit einbezieht, also statt 53 die Zahl …0000000053 betrachtet. Gewinnt sie zwangsläufig an Teilern, sobald man irgendeine der Nullen oder der anderen Ziffern durch einen beliebigen unterschiedlichen Wert ersetzt?

Von »Spektrum der Wissenschaft« übersetzte und bearbeitete Fassung des Artikels »Mathematicians Find a New Class of Digitally Delicate Primes« aus »Quanta Magazine«, einem inhaltlich unabhängigen Magazin der Simons Foundation, die sich die Verbreitung von Forschungsergebnissen aus Mathematik und den Naturwissenschaften zum Ziel gesetzt hat.

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  • Quellen

Filaseta, M., Juillerat, J.: Consecutive primes which are widely digitally delicate. ArXiv: 2101.08898, 2021

Filaseta, M., Southwick, J.: Primes that become composite after changing an arbitrary digit. Mathematics of Computation 90, 2021