Hemmes mathematische Rätsel: Neun hoch neun hoch neun
Eines der besten Werke des 19. Jahrhunderts über mathematischen Denksport ist das 1880 erschienene Buch »Mathematische Kurzweil« von Louis Mittenzwey. In diesem Buch taucht erstmals das bekannte Problem der drei Neunen auf:
Welches ist die größte Zahl, die man mit drei Neunen darstellen kann, ohne dazu weitere Ziffern oder irgendwelche Rechenzeichen, Buchstaben oder Wörter zu benutzen? Die Lösung ist
\begin{eqnarray}9^{9^{9}}.\end{eqnarray}Diese Zahl muss definitionsgemäß von oben nach unten abgearbeitet werden. Mit Klammern geschrieben sähe sie also so aus:
\begin{eqnarray}9^{(9^{9})}\end{eqnarray}Würde man den Ausdruck ausmultiplizieren, erhielte man eine Zahl mit 369 693 100 Stellen. 1913 versuchte der britische Astronom Andrew Claude de la Cherois Crommelin einige dieser Stellen zu berechnen und fand die ersten 28 und die letzten 3 Ziffern. Ihre Aufgabe ist aber einfacher: Bestimmen Sie die beiden letzten Ziffern dieser Riesenzahl.
Multipliziert man nacheinander die Ausdrücke 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99 und 910 aus und betrachtet dabei nur jeweils die beiden Endziffern, erhält man die Ergebnisse 09, 81, 29, 61, 49, 41, 69, 21, 89 und 01. Da die letzten zwei Ziffern von 911 wieder 09 sind, wiederholt sich ab nun bei allen weiteren Neunerpotenzen die Folge der zehn Endziffernpaare immer wieder. Das heißt, nicht nur 99 endet mit den beiden Ziffern 89, sondern auch 919, 929, 939, 949, 959, …, 9…89, …
Weil nun 99 = …89 ist, gilt:
\begin{eqnarray}9^{9^{9}} = 9^{(9^{9})} = 9^{…89} = …89\end{eqnarray}Die gesuchten zwei Endziffern sind also 89.
1941 berechnete Chr. Weiss die ersten 60 und die letzten 26 Ziffern der Riesenzahl, und 1947 konnte Horace S. Uhler diesen Rekord auf die ersten 138 Stellen erweitern.
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