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Hemmes mathematische Rätsel: Wie lang ist der kürzeste Weg?

Auf halber Länge der Flanke sitzt eine Spinne, die einmal um den Kegel krabbelt und wieder bei ihrem Ausgangspunkt landet. Sie hat den kürzestmöglichen Weg genommen.
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Der große polnische Mathematiker Hugo Steinhaus (1887–1972) misstraute zeitlebens den Lehrern und fand, dass es zu wenige interessante Mathematikbücher für die Jugend gab. Darum schrieb 1938 er ein Buch mit dem Titel »Kalejdoskop Matematyczny«, das ein äußert unterhaltsamer Streifzug durch alle Gebiete der Mathematik ist. Es gab damals kaum vergleichbare Werke, und so wurde es in ein Dutzend Sprachen übersetzt und ist in einigen Ländern noch heute erhältlich. In Deutschland erschien es erstmals 1959 unter dem Titel »Kaleidoskop der Mathematik«. Daraus stammt folgendes Rätsel:

Auf einem Kegel, dessen kreisförmige Grundfläche einen Durchmesser von 10 Zentimeter und dessen Flanke eine Länge von 20 Zentimeter hat, sitzt auf halber Länge der Flanke eine Spinne. Sie krabbelt einmal um den Kegel herum und gelangt wieder zu ihrem Ausgangspunkt zurück. Dabei muss ihr Abstand von der Kegelspitze nicht unbedingt immer gleich bleiben. Zufällig hat sie den kürzestmöglichen Weg genommen. Wie lang ist dieser Weg?

Zur Lösung der Aufgabe entfernt man die Basisfläche des Kegels, schneidet den Mantel entlang derjenigen Flanke auf, auf der die Spinne sitzt, und breitet ihn flach aus. Das Ergebnis ist ein Kreisausschnitt.

Da die Kegelbasis einen Durchmesser von 10 cm hat, betragen ihr Umfang und damit auch die Länge des Kreisbogens vom abgewickelten Kegelmantels 10π cm.

Der Kegelmantel hat einen Radius von 20 cm. Wäre er ein Vollkreis, hätte er einen Umfang von 40π cm. Weil der Kreisbogen jedoch nur gerade ein Viertel davon ist, ist die Mantelfläche ein Viertelkreis und die beiden den Ausschnitt begrenzenden Radien treffen sich unter einem rechten Winkel.

Einmal um den Kegel herumzulaufen, bedeutet für die Spinne, auf dem abgewickelten Kegelmantel von der Mitte des oberen Rands zur Mitte des linken Randes zu krabbeln. Der kürzeste Weg ist eine gerade Linie, deren Länge sich mit dem Satz des Pythagoras zu √2 · 10 cm ≈ 14,14 cm berechnen lässt.

Die Wanderung um den Kegel

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