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Hemmes mathematische Rätsel: Wie viele Bananen gelangen ans Ziel?

Ein Kamel soll 3000 Bananen über 1000 Meilen transportieren. Es kann nur 1000 gleichzeitig tragen und muss nach jeder Meile eine essen.
Dromedare im Oman

Im 9. Jahrhundert wurde im Reich Karls des Großen ein Manuskript mit dem Titel »Propositiones ad acuendos iuvenes« (Aufgaben zur Schärfung des Geistes der Jugend) verfasst. Es ist die älteste mathematische Aufgabensammlung in lateinischer Sprache. Der Autor dieses Manuskripts ist unbekannt, aber es wird vermutet, dass es von Alkuin von York (ca. 732-804) stammt, einem englischen Gelehrten, der von 781 bis 796 am Kaiserhof in Aachen lebte. Die »Propositiones« bestehen aus 53 Aufgaben, von denen die meisten zur Unterhaltungsmathematik gehören. Als vorletzte Aufgabe taucht in diesem Manuskript erstmals in der Geschichte der Mathematik ein Optimierungsproblem für den Transport von Gütern auf. Da die Originalaufgabe sehr einfach ist, stelle ich sie hier in geringfügig veränderter Form und mit größeren Zahlen.

Ein Händler möchte mit seinem Kamel 3000 Bananen zum 1000 Meilen entfernten Markt transportieren. Das Kamel kann höchstens 1000 Bananen gleichzeitig tragen und braucht nach jeder zurückgelegten Meile eine Banane als Wegzehrung. Der Händler kann bei dem Transport beliebig viele Zwischenlager anlegen. Es darf bei dem Transport keine Banane geteilt werden. Wie viele Bananen gelangen auf diese Weise höchstens ans Ziel?

Das Kamel läuft mit 1000 Bananen los. Nach 200 Meilen hat es 200 Bananen verzehrt, und der Händler legt ein erstes Zwischenlager mit 600 Bananen an. Mit 200 Bananen als Wegzehrung macht sich das Kamel auf den Rückweg. Auf die gleiche Weise transportiert es nun weitere 600 Bananen in das Zwischenlager.

Beim dritten Gang bringt es 800 Bananen in das Zwischenlager, es muss nun nicht mehr zum Startpunkt zurück, da dort keine Bananen mehr liegen. Es befinden sich somit 2000 Bananen im ersten Zwischenlager.

Jetzt macht sich das Kamel erneut mit 1000 Bananen in Richtung Markt auf den Weg. Nach 333 Meilen hat es 333 Bananen verzehrt, und der Händler legt ein zweites Zwischenlager mit 334 Bananen an. Mit 333 Bananen als Wegzehrung geht das Kamel zum ersten Zwischenlager zurück und holt die restlichen 1000 Bananen. Mit 667 Bananen kommt es wieder im zweiten Zwischenlager an. Dort sind nun 1001 Bananen deponiert.

Nun macht sich das Kamel mit 1000 Bananen auf den 467 Meilen langen restlichen Weg zum Markt. Eine Banane bleibt im Zwischenlager zurück. Das Kamel braucht 467 Bananen als Wegzehrung und kommt folglich mit 533 Bananen auf dem Markt an.

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