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Freistetters Formelwelt: Surreale Zahlen

Bei all den Zahlen, die man in der Mathematik definieren kann, wird es niemanden wundern, dass auch surreale Zahlen dabei sind. Tatsächlich sind die sogar erstaunlich nützlich.
Ein roter Würfel schmilzt.
Auch ganz normale natürliche Zahlen können sich als surreal erweisen.

Dass es unterschiedliche Mengen von Zahlen gibt, lernt man schon recht früh in der Schule. Man fängt mit den natürlichen Zahlen an, also denen, die man zum Zählen verwendet: 1, 2, 3, und so weiter. Aber man muss nur auf die Idee kommen, zum Beispiel die 3 von der 2 abzuziehen oder die 1 durch die 2 zu dividieren, um zu merken, dass es da noch mehr Zahlen geben muss.

Die legendärsten mathematischen Kniffe, die übelsten Stolpersteine der Physikgeschichte und allerhand Formeln, denen kaum einer ansieht, welche Bedeutung in ihnen schlummert: Das sind die Bewohner von Freistetters Formelwelt.
Alle Folgen seiner wöchentlichen Kolumne, die immer sonntags erscheint, finden Sie hier.

So entdeckt man die ganzen Zahlen, die rationalen Zahlen und später noch reelle und komplexe Zahlen. Die Mathematik macht da aber noch lange nicht Halt. Auch das hier ist zum Beispiel eine Zahl:

Um zu verstehen, was mit dieser Formel gemeint ist, müssen wir uns mit der Arbeit des britischen Mathematikers John Conway beschäftigen. Bei der Untersuchung der Mathematik des Strategiespiels Go entdeckte – so hat Conway es formuliert – er die »surrealen Zahlen«. Eine solche Zahl wird durch die Angaben von zwei Mengen definiert, die die Zahl quasi von links und rechts eingrenzen. Das kann man zum Beispiel so aufschreiben: x = {L|R}. Die Menge L enthält ausschließlich Zahlen, die kleiner sind als x, und in R findet man nur Zahlen, die größer als x sind.

Mit diesem Wissen kann man die surrealen Zahlen Schritt für Schritt aufbauen. Die simpelste Zahl wird durch { | } definiert, wobei L und R jeweils die leere Menge sind. Wenn wir diese Zahl 0 nennen, kann man daraus neue surreale Zahlen konstruieren. Zum Beispiel x = {0| }. x kann nicht kleiner als 0 sein und die erste Zahl, die diese Bedingung erfüllt, ist die 1. Wenn wir jetzt x = {0|1} schreiben, können wir das Ergebnis ½ nennen – und so weiter: Die exakte mengentheoretische Ableitung der surrealen Zahlen ist noch ein wenig komplexer, aber das Prinzip sollte klar sein.

Epsilon und Omega

Conways surreale Zahlen sind natürlich nicht nur eine komplizierte Methode, um simple Ziffern aufzuschreiben. Man kann damit weit über den üblichen Zahlenbegriff hinausgehen, wie im Beispiel der surrealen Zahl ε aus der Formel klar wird. Bei ε muss es sich um eine Zahl handeln, die größer als null ist, gleichzeitig aber auch kleiner als jede reelle Zahl. Es handelt sich um eine infinitesimale Zahl, also eine beliebig kleine, aber dennoch positive Zahl. So ein beliebig kleines, aber positives ε wird in vielen mathematischen Sätzen und Beweisen verwendet.

Man kann aber auch in die andere Richtung gehen und zum Beispiel ω = {0, 1, 2, 3, … | } definieren. Das muss eine Zahl sein, die größer als jede ganze Zahl ist und man könnte sie ∞ nennen. Aber seit der Arbeit von Georg Cantor wissen wir, dass es auch Mengen gibt, die »mehr als unendlich« viele Elemente enthalten können, wie zum Beispiel die Menge der reellen Zahlen. Sie lassen sich nicht durch die natürlichen Zahlen abzählen; selbst wenn man unendlich weit zählen würde, bleiben immer noch reelle Zahlen übrig.

Und auch solche überabzählbaren Mengen kann man mit Conways surrealen Zahlen darstellen, zum Beispiel durch {ω| }. Es lässt sich auch zeigen, dass man für diese Zahlen Rechenregeln aufstellen kann, mit denen sie sich addieren und multiplizieren lassen. Das führt unter anderem zu dem Resultat ω · ε = 1.

Mit diesen Zahlen kann man unter anderem das machen, was Conway ursprünglich vorhatte, nämlich Spiele wie Go zu beschreiben. Die Mengen L und R enthalten dann zum Beispiel alle möglichen Positionen, die in der aktuellen Situation von den zwei am Spiel beteiligten Personen erreichbar sind. Je nachdem, wie die darüber definierte surreale Zahl aussieht, kann man vorhersagen, wer am Ende gewinnt. Genau bei dieser Art von Analyse ist Conway auf die Idee gekommen, dass das nicht nur eine gute Methode ist, um Spiele zu untersuchen. Sondern dass sich daraus eine völlig neue Art von Zahlen definieren lässt. Und in der Mathematik kann man nie genug Zahlen haben!

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