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Lexikon der Mathematik: Knotenpunkt

(engl. node), ein Fixpunkt x0W eines auf einer offenen Menge W ⊂ ℝ2 definierten Vektorfeldes f : W → ℝ2, dessen Linearisierung (Linearisierung eines Vektorfeldes) Df(x0) (mit Vielfachheit gezählt) zwei reelle Eigenwerte λ und µ mit λ · µ > 0 besitzt.

A ist dann ähnlich zur Matrix \begin{eqnarray}B\,:=\,\left(\begin{array}{cc}\lambda & 0\\ 0 & \mu \end{array}\right)\end{eqnarray} oder \begin{eqnarray}C\,:=\,\left(\begin{array}{cc}\lambda & 1\\ 0 & \mu \end{array}\right)\end{eqnarray} (Jordansche Normalform). Im Fall von C spricht man auch von einem uneigentlichen oder entarteten Knotenpunkt. Sind beide Eigenwerte negativ bzw. positiv, so ist x0 asymptotisch stabiler bzw. instabiler Fixpunkt des linearisierten Systems, das durch die lineare Abbildung Df(x0); ℝ2 → ℝ2 gegeben ist. Da x0 hyperbolischer Fixpunkt ist, hat aber auch der Fixpunkt x0 von f diese Stabilität (Hartman-Grobman-Theorem). Im Fall B spricht man für λ = µ von einem Stern.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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