eine ganzrationale Funktion vom Grad ≤ 1, also eine Funktion f : ℝ → ℝ, die sich in der Gestalt

\begin{eqnarray}f(x)=ax+b\end{eqnarray}

mit a, b ∈ ℝ schreiben läßt.

f ist dann beliebig oft differenzierbar mit f^′(x) = a und f^(k)(x) = 0 für k > 1, isoton für a ≥ 0 und antiton für a ≤ 0, streng isoton für a > 0 und streng antiton für a < 0 und sowohl konvex als auch konkav. Im Fall a = 0 ist f(x) = b, also konstant, und im Fall a ≠ 0 gilt \(f(x)=a(x+\frac{b}{a})\) für x ∈ ℝ, und f hat genau eine Nullstelle, nämlich an der Stelle \(-\frac{b}{a}\). Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Alle Geraden in ℝ² mit Ausnahme der zur y-Achse parallelen Geraden lassen sich durch lineare Funktionen darstellen.

Man beachte: Im Sinne der linearen Algebra wird durch f(x) = ax + b im Fall b ≠ 0 keine lineare, sondern eine affin-lineare Abbildung f definiert.

Hier sind also die (ansonsten synonymen) Begriffe „Funktion“ und „Abbildung“ zu unterscheiden, eine lineare Funktion ist i. allg. nicht dasselbe wie eine lineare Abbildung.