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Lexikon der Mathematik: Risiko

umgangssprachlich: Wagnis oder Gefahr, vom italienischen „risco“ (Klippe).

In der Versicherungs- und Finanzmathematik werden Risiken über Zufallsgrößen R bzw. stochastische Prozesse R(t) beschrieben. Zur begrifflichen Charakterisierung sind folgende Unterscheidungen wichtig:

  1. Der Erwartungswert E[R] der Zufallsgröße R bildet die Grundlage für die Berechnung von Versicherungsprämien. Diese Größe beschreibt aber kein Risiko im eigentlichen Sinne.
  2. Als Zufallsrisiko bezeichnet man die Unbestimmtheit, daß R > E[R] mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit eintritt. Sofern R stochastisch vollständig beschrieben werden kann, ist dieses Risiko mathematisch beherrschbar.
  3. Das Diagnoserisiko besteht darin, den Erwartungswert E[R] bzw. die Verteilung von R (auf Grund der vorhandenen Informationen) nicht hinreichend genau bestimmen zu können. Dieses Risiko ist durch Konfindenzintervalle für die Verteilungsparameter einzugrenzen.
  4. Das Änderungsrisiko besteht darin, daß E[R] auf Grund der stochastischen Natur des Risikos prinzipiell nicht schätzbar ist. In der Praxis ist dies insbesondere bei Strukturbrüchen zu berücksichtigen.

Zur Beschreibung von Risiken werden neben dem Erwartungswert weitere statistische Meßzahlen verwendet. Dabei unterscheidet man zwischen symmetrischen (i—ii) und asymmetrischen (iii—iv) Risikomaßen:

  • Das gebräuchlichste Maß ist die „Varianz“ von R (respektive die zugehörige „Standardabweichung“). Diese Größe charakterisiert die Abweichung vom Erwarungswert und hat die Eigenschaft positive und negative Abweichungen gleich zu gewichten.
  • In der Versicherungsmathematik wichtig ist der „Variationskoeffizient“, d. h. der Quotient aus Standardabweichung und Erwartungswert. Diese Größe gibt ein skalenunabhängiges Maß für das Schwankungsrisikos.
  • In die Berechnung der „Semivarianz“ geht – im Gegensatz zur Varianznur der rechte Ast der Verteilung von R ein, d. h., es werden nur solche Ereignisse berücksichtigt, die „ungünstiger“ sind als der Erwartungswert.
  • Zur Bestimmung einer „Shortfall-Wahrscheinlichkeit“ ist eine Benchmark B vorzugeben. Bestimmt wird die Wahrscheinlichkeit dafür, daß Ereignisse eintreten, bei denen die Risikogröße R die Benchmark übersteigt, also P[R > B]. Als „Shortfall-Erwartungswert“ bezeichnet man den bedingten Erwartungswert des Schadens für alle Fälle, bei denen das Risiko R die Benchmark übersteigt, d.h. E[R|R > B].
  • Neben der Quantifizierung des Risikos beschäftigt sich die Versicherungsmathematik mit Verfahren zur Risikoreduktion. Ein grundlegendes Ergebnis (das „Produktionsgesetz der Versicherungstechnik“) besagt, daß der Variationskoeffizient bei der Zusammenfassung mehrerer unkorrelierter Risiken zu einem Kollektiv abnimmt. Dabei spricht man von einer „Risikodiversifikation“.

    Siehe auch Entscheidungstheorie und Risikotheorie.

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    • Die Autoren
    - Prof. Dr. Guido Walz

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