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Lexikon der Mathematik: Wavelet-Pakete

Variante einer Wavelet-Basis und orthogonalen Basis des \begin{eqnarray}{L}_{2}({\mathbb{R}})\end{eqnarray}.

Grundlegende Idee dabei ist, die Räume Wj in der Waveletzerlegung weiter aufzusplitten, um evtl. bessere Frequenzauflösung zu erhalten. Im Gegensatz zur Situation bei der gefensterten Fourier-Transformation haben Wavelets auf groben und auf feinen Skalen dieselbe Anzahl von Oszillationen, da sie durch Skalierung auseinander hervorgehen. Bei der Wavelet-Transformation werden also zur Auflösung niedriger und hoher Frequenzen Funktionen gleichen Typs verwendet. Dies kann in gewissen Situationen nachteilig sein.

Um diese Beschränkung zu überwinden, hat man Wavelet-Pakete eingeführt. Mit der Skalierungsfunktion ϕ assoziierte Wavelet-Pakete ψn, n = 0, 1, …, bestehen aus mehreren übereinanderge-lagerten Wavelets und werden (mit ψ0 := φ und ψ1 := ψ) rekursiv definiert durch \begin{eqnarray}\begin{array}{rcl}\psi_2n(x) & = & \sqrt{2}\displaystyle \sum {h}_{k}{\psi}_{n}(2x-k),\\ \psi 2n+1(x) & = & \sqrt{2}\displaystyle \sum {g}_{k}{\psi}_{n}(2x-k).\end{array}\end{eqnarray} wobei \begin{eqnarray}{\{{h}_{k}\}}_{k\in {\mathbb{Z}}}\end{eqnarray} die Filterkoeffizienten der Skalierungsfunktion ϕ und \begin{eqnarray}{\{{g}_{k}\}}_{k\in {\mathbb{Z}}}\end{eqnarray} diejenigen des Wavelets ψ sind.

Das Funktionensystem \begin{eqnarray}\{{\psi}_{n}(.-k)|n\in {{\mathbb{N}}}_{0},k\in {\mathbb{Z}}\}\end{eqnarray} bildet eine Orthonormalbasis des \begin{eqnarray}{L}_{2}({\mathbb{R}})\end{eqnarray}. Die mit der Skalierungsfunktion ϕ = χ[0,1] des Haar-Wavelets assoziierten Wavelet-Pakete etwa ergeben die sogenannte Walsh-Reihe.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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