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Lexikon der Physik: Pendel

Pendel, in einem homogenen Kraftfeld meist um eine feste Achse (ebenes Pendel) oder um einen festen Punkt (räumliches Pendel) drehbar gelagerter starrer Körper, der unter dem Einfluß dieser Kraft Schwingungen um eine Ruhelage ausführt. Finden diese Schwingungen unter dem Einfluß des Schwerefeldes statt, so spricht man von einem Schwerependel.

Ein Pendel, das im Grenzfall aus einem Massepunkt und einem gewichtslosen Aufhängefaden besteht, heißt mathematisches Pendel, im Gegensatz zum physikalischen Pendel, bei dem der Pendelkörper eine beliebige Masseverteilung besitzen kann. Das mathematische Pendel wird in der Praxis sehr gut durch ein Fadenpendel angenähert: ein kleiner aber schwerer Körper, der am Ende eines langen dünnen Fadens aufgehängt ist. Im einzelnen unterscheidet man:

1) Ausgleichspendel, Minimalpendel, physikalisches Pendel (siehe 28) in einer Form, bei der z.B. durch Temperaturschwankungen verursachte Änderungen der Pendellänge den geringsten Einfluß auf die Schwingungsdauer haben. Da die Schwingungsdauer des physikalischen Pendels von seiner reduzierten Pendellänge

abhängt, darf diese sich beim Ausgleichspendel bei kleinen Änderungen des Abstandes

des Schwerpunktes von der Drehachse nur minimal ändern. Dies führt auf die Bedingung

. Für die reduzierte Pendellänge gilt die Beziehung



denn nach dem Steinerschen Satz kann das auf die Drehachse bezogene Trägheitsmoment

als

geschrieben werden (

: das auf die zur Drehachse parallelen Schwerpunktsachse bezogene Trägheitsmoment,

: Pendelmasse und

: Trägheitsradius). Aus

folgt dann

und

.

Unter Verwendung von Ausgleichspendeln wurden die genauesten astronomischen Pendeluhren gebaut, bei denen ein solches Pendel, elektromagnetisch angetrieben, in verdünntem Wasserstoff schwingt.

2) ballistisches Pendel, Stoßpendel, ein Schwerependel, das durch einen Kraftstoß aus der Ruhelage ausgelenkt wird. Wählt man als Pendelkörper ein plastisches Material, so läßt sich das Pendel zur einfachen Messung von Geschwindigkeiten einsetzen, insbesondere der von Geschossen.

Meist besteht das ballistische Pendel aus einer einseitig offenen, mit Sand gefüllten Kiste, die an einer horizontalen Achse aufgehängt ist. Das Geschoß bleibt im Sand stecken (unelastischer Stoß) und überträgt seinen Impuls auf das Pendel, wodurch dieses einen Drehimpuls erhält. Die Geschwindigkeit

eines Geschosses der Masse

kann aus der maximalen Auslenkung

und dem Abstand

des Einschlagspunktes von der Achse aus



berechnet werden. Dabei ist

die Gesamtmasse des Pendels,

das Trägheitsmoment des Pendels bezüglich seiner Drehachse,

der Abstand des Pendelschwerpunktes von der Drehachse und

die Erdbeschleunigung.

3) Bifilarpendel, in der Seismometrie verwendetes Pendel.

4) Doppelpendel, eine Pendelanordnung, bei der an einem ersten Pendel der Masse

und der Länge

ein zweites Pendel der Masse

und der Länge

hängt (siehe Abb. 1). Die genaue mathematische Behandlung eines Doppelpendels ist sehr kompliziert. Für kleine Auslenkungen kann man wie beim mathematischen Pendel

durch

ersetzen, und es ergibt sich, daß die beiden Pendel auf keinen Fall mit genau derselben Frequenz schwingen können.

Fast übereinstimmende Frequenzen ergeben sich für

und

. Gibt man dem oberen Pendel einen kurzen Stoß, gerät das untere in lebhafte Bewegungen, während das obere zur Ruhe kommt. Das untere Pendel beruhigt sich schließlich wieder und das obere schlägt wieder stärker aus, usw. Die Energie wandert also zwischen den beiden Pendeln hin und her, es treten Schwebungen auf.

5) Drehpendel, Torsionspendel (siehe 42).

6) ebenes mathematisches Pendel, mathematisches Pendel (siehe 24), dessen Schwingung auf eine vertikale Ebene beschränkt ist.

7) Elementarpendel, Bezeichnung für eine Kugel zwischen zwei gespannten Schraubenfedern als experimentelle Realisierung eines harmonischen Oszillators.

8) Fadenpendel, ein Pendel, bei dem eine kleine Kugel aus einem schweren Material an einem langen dünnen Faden hängt. Das Fadenpendel realisiert weitgehend das mathematische Pendel (siehe 24). Die sehr geringen Abweichungen seiner Schwingungsdauer von derjenigen des mathematischen Pendels bei kleinen Auslenkungen (

) wegen der endlichen Ausdehnung der Pendelmasse und des Einflusses der Fadenmasse ist durch folgende Formel gegeben:



(

und

: Faden- bzw. Kugelmasse (

),

: Kugelradius,

: Pendellänge bis zum Kugelmittelpunkt (

),

: Schwerebeschleunigung).

Mit Hilfe dieser Formel kann auch das Fadenpendel zur Bestimmung der Erdbeschleunigung

aus der Schwingungsdauer benutzt werden, jedoch wird für wissenschaftliche Zwecke meistens das Reversionspendel (siehe 31) verwendet.

9) Faradaysches Pendel, stabförmiges, leitendes Kegelpendel, das ganz leicht in ein Quecksilberbad eintaucht, in dessen Mitte ein senkrecht angebrachter Stabmagnet endet. Durchfließt ein Strom von einigen Ampere das Pendel, so beginnt es, um den Magnetpol zu rotieren. Dies kann erklärt werden, wenn man die Überlagerung der Magnetfeldlinien, die den Strom kreisförmig umgeben, mit den radial vom Magnetpol ausgehenden Linien betrachtet. Vor dem Pendel entsteht eine Abschwächung, hinter dem Pendel eine Verstärkung des Feldes, wodurch die bewegende Kraft zustande kommt.

10) Federpendel, an einer Spiralfeder oder einer Blattfeder aufgehängte Masse, die unter der Einwirkung der Schwerkraft oder einer vertikalen Bodenbeschleunigung Schwingungen ausführt (siehe Abb. 2). Im ersten Fall dient es als grundsätzlicher Bestandteil von statischen Schweremessern (Gravimeter), im zweiten von Vertikalseismometern (Seismometrie). Für kleine Auslenkungen

aus der Ruhelage gilt nach dem Hookeschen Gesetz mit der Federkonstante

die Bewegungsgleichung

(in der schwingenden Masse

ist noch die halbe Federmasse enthalten), woraus die Schwingungsdauer

folgt.

11) Foucaultsches Pendel, Kamerlingh-Onnes-Pendel, gyroskopisches Pendel, Pendel zum Nachweis der Erdrotation (gyroskopische Bewegung) und damit dafür, daß die Erde kein Inertialsystem darstellt. Als Folge der in rotierenden Bezugssystemen auftretenden Corioliskraft beobachtet man eine langsame Drehung der Schwingungsebene eines mathematischen Pendels mit großer Schwingungsdauer

.

Diese Drehung hängt von der geographischen Breite des Ortes ab: an den Polen dreht sich die Erde unter der Schwingungsebene weg, d.h. ein Beobachter stellt bei einem vollen Hin- und Hergang des Pendels relativ zur Erde eine Drehung der Schwingungsebene um den Winkel

fest, wobei

die Winkelgeschwindigkeit der Erde ist. Am Äquator findet keine Drehung statt, das Pendel schwingt stets in der einmal vorgegebenen Ebene. Bei gegebener geographischer Breite

ist

.

Der Pendelkörper beschreibt auf die Tangentialebene an die Erde projiziert, d.h. für den Beobachter im Laboratorium, eine Rosettenbahn mit Schleifen, wenn die Schwingung durch Anstoßen aus der Ruhelage, oder mit Spitzen, wenn sie durch Loslassen des Pendels aus der Lage maximaler Auslenkung beginnt (siehe Abb. 3).

Im historischen Versuch im Pariser Pantheon 1851 benutzte Foucault eine Pendelmasse von 28 kg an einem 67 m langen Faden. Tatsächlich wurde der Versuch jedoch erstmals bereits im Jahre 1661 von Viviani durchgeführt. Kamerlingh Onnes untersuchte 1879 in seiner Dissertation quantitativ alle Fehlerquellen des Foucaultschen Pendels und führte Präzessionsmessungen der Erdrotation mit einem Fehler unter 0,5 % durch.

12) Galitzin-Pendel, ein Seismometer (Seismometrie), bei dem die zum Teil sehr kleine Pendelmasse eine Induktionsspule trägt, die beim Schwingen des Pendels an den Polen eines starken Dauermagneten vorbeigeführt wird und dadurch einen Strom induziert.

13) gekoppelte Pendel, sympathische Pendel, Pendel, die z.B. durch Federn oder auch durch Fäden, die mit Gewichten beschwert sind, verbunden und damit aneinandergekoppelt sind, so daß sie nicht mehr unabhängig voneinander schwingen (siehe Abb. 4). Bei zwei gekoppelten Pendeln gleicher Masse und gleicher Länge ergeben sich wie beim Doppelpendel (siehe 4), das die einfachste Form gekoppelter Pendel darstellt, Schwebungen: stößt man ein Pendel aus der Ruhe an, so wandert die Energie zwischen den beiden Pendeln hin und her, wobei abwechselnd das eine und das andere der beiden Pendel zur Ruhe kommt (oder bei leicht unterschiedlichen Pendeln zumindest annähernd zur Ruhe).

Bei

miteinander gekoppelten Pendeln gibt es genau

Fundamentalschwingungen (Schwingungen, kleine). Für die beiden Pendel, die durch eine Feder gekoppelt sind, gibt es also zwei Fundamentalschwingungen: Sie schwingen entweder in Phase oder (mit einer höheren Frequenz) gegenphasig. Die Bewegung der Pendel bei beliebigem Anstoß ergibt sich aus einer Überlagerung dieser Fundamentalschwingungen. Diese Überlagerung ist auch verantwortlich für die beobachteten Schwebungen.

14) gyroskopisches Pendel, Kamerlingh-Onnes-Pendel, Foucaultsches Pendel (siehe 11).

15) Horizontalpendel, in der Seismometrie verwendetes Pendel.

16) invariables Pendel, bei der Schweremessung (Gravimetrie) angewandter Begriff, um die mehr oder weniger gesicherte Unveränderlichkeit der Schwingungsdauer eines Pendels zu charakterisieren. Maßgebend für die Invariabilität oder Konstanz des Pendels ist neben der Unveränderlichkeit der Länge und des Trägheitsmomentes auch die der Schneide und ihrer Auflage.

17) Invarpendel, Nickelstahl-Kompensationspendel, ein spezielles Kompensationspendel (siehe 20).

18) Kamerlingh-Onnes-Pendel, gyroskopisches Pendel, Foucaultsches Pendel (siehe 11).

19) Kegelpendel, Kreispendel, konisches Pendel, mathematisches Pendel (siehe 24), dessen Bewegung nicht auf eine vertikale, sondern auf eine horizontale Ebene beschränkt ist. Die Pendelmasse läuft dann auf einem horizontalen Kreis mit gleichförmiger Geschwindigkeit um, wobei sich die masselos angenommene Pendelstange bzw. der Faden auf dem Mantel eines Kreiskegels mit vertikaler Achse bewegt (siehe Abb. 5). Wird die Bewegung des Pendels hingegen auf eine Kugeloberfläche beschränkt, spricht man von einem Kugelpendel ( siehe 23).

Zur Bestimmung der Umlaufdauer

betrachtet man das Kräftegleichgewicht zwischen der nach außen wirkenden Zentrifugalkraft

und der nach innen wirkenden Komponente

der Gewichtskraft, woraus

folgt. Dabei ist

die Masse und

die Länge des Pendels,

der Öffnungswinkel des Kreiskegels,

dessen Radius und

die Schwerebeschleunigung.

Für kleine Winkel

ist

, also

analog zum mathematischen Pendel bei kleinen Amplituden.

Das Kegelpendel wird in der Technik z.B. beim Fliehkraftregler eingesetzt: Zwei Kugeln hängen seitlich an der Drehachse herunter und ein Anwachsen der Winkelgeschwindigkeit führt zum Anheben der Massestücke

, womit sich eine Regelung realisieren läßt (siehe Abb. 6). Man nennt diesen Pendeltyp deshalb auch Fliehkraft- oder Zentrifugalpendel.

20) Kompensationspendel, Pendel, bei dem sich die temperaturbedingten Längenänderungen der einzelnen Teile gegenseitig kompensieren, so daß die reduzierte Pendellänge und damit die Schwingungsdauer weitgehend konstant bleibt.

Beim Rostpendel wird z.B die Pendellinse von einer rostähnlich angeordneten Konstruktion aus Stahl- und Zink- oder Messingstäben getragen, deren Längenänderungen sich bei Temperaturschwankungen gegenseitig kompensieren (siehe Abb. 7).

Beim Quecksilber-Kompensationspendel dienen ein oder zwei Quecksilbergefäße als Pendellinse. Die Ausdehnung des Quecksilbers kompensiert hier die Längenänderung der Pendelstange.

Die Pendelstange des Nickelstahl-Kompensationspendels von Riefler besteht aus Invar (Invarpendel), einer Nickelstahllegierung mit einem sehr niedrigen thermischen Ausdehnungskoeffizienten. Die Pendellinse L ruht auf einer Metallhülse H, die bei einer Temperaturerhöhung durch ihre Ausdehnung die Pendellinse etwas hebt und dadurch die Ausdehnung der Invarpendelstange gerade kompensiert (siehe Abb. 8).

21) konisches Pendel, Kreispendel, Kegelpendel (siehe 19).

22) Kreispendel, konisches Pendel, Kegelpendel (siehe 19).

23) Kugelpendel, sphärisches Pendel, räumliches Pendel, allgemeine Form des mathematischen Pendels, bei der sich der Massepunkt auf einer Kugeloberfäche bewegen kann. Aus dem Energie- und Impulssatz folgt, daß die allgemeinste Bewegungsform des Massepunktes dann ein Pendeln zwischen zwei Breitenkreisen mit dem Azimut

bzw.

ist, von denen mindestens einer auf der unteren Halbkugel liegen muß (siehe Abb. 9). Die Bahnkurve hat keine Schleifen oder Spitzen, ist im allgemeinen nicht geschlossen und in der Draufsicht ergibt sich der in Abb. 9 skizzierte Bahnverlauf. Bei kleinen Ausschlägen bewegt sich der Massepunkt auf einer horizontalen Ellipse und seine Umlaufzeit beträgt näherungsweise

(

: Pendellänge,

: Schwerebeschleunigung). Ein Spezialfall des Kugelpendels stellt das Kegelpendel (siehe 19) dar, bei dem die Bewegung auf eine horizontale Ebene beschränkt ist.

24) mathematisches Pendel, idealisiertes Pendel, bei dem eine punktförmige Masse

durch eine starre und masselose Pendelstange der Länge

mit einem festen Punkt O verbunden ist und sich demnach nur auf einer Kugelfäche mit dem Radius

um den Punkt O bewegen kann (siehe 23, Kugelpendel). Diese Situation kann annähernd mit einem Fadenpendel (siehe 8) realisiert werden, wobei die Schwingungen jedoch auf die untere Halbkugel beschränkt werden müssen.

Wird die Bewegung des Pendels auf eine horizontale Ebene eingeschränkt, so daß die punktförmige Masse Kreisbahnen in dieser Ebene beschreibt, spricht man von einem Kreis- oder Kegelpendel (siehe 19). Bei einer Beschränkung der Bewegung auf eine vertikale Ebene durch den Punkt O, handelt es sich um ein ebenes mathematisches Pendel. Meist sagt man aber auch dann einfach nur ›mathematisches Pendel‹. Vernachlässigt man für diesen Fall die Reibung im Auflagepunkt O sowie den Luftwiderstand, so lautet die Pendelgleichung, also die Bewegungsgleichung des Massepunktes



mit

, wobei

die Erdbeschleunigung und

die Länge des Pendels ist (siehe Abb. 10). Für kleine Ausschläge oder Amplituden läßt sich

durch

nähern, woraus sich die linearisierte Pendelgleichung



mit der allgemeinen Lösung



ergibt (

: Amplitude,

: Phasenkonstante). Die Schwingungsdauer

ist für relativ kleine Auslenkungen also weder von der Masse noch von der Amplitude abhängig, sondern nur von der Länge des Pendels. Beträgt die halbe Periode gerade eine Sekunde, so spricht man von einem Sekundenpendel.

Die Bestimmung der Schwingungsdauer aus der nicht linearisierten Pendelgleichung führt auf ein vollständiges elliptisches Integral der ersten Gattung, woraus sich die von der Amplitude

abhängende Periode

ergibt:



25) Minimalpendel, Ausgleichspendel (siehe 1).

26) Paraboloidpendel, ein Pendel, bei dem die Bewegung des Massepunktes auf die Oberfläche eines Rotationsparaboloids mit vertikaler Rotationsachse beschränkt ist. Im Gegensatz zum Kegelpendel (siehe 19), das eine Spezialform des Kugelpendels (siehe 23) darstellt, ist hier die Umlaufdauer auf einer horizontalen Kreisbahn unabhängig von ihrem Radius.

27) Parallelogrammpendel, wird ein Pendelkörper an zwei gleich langen parallelen Fäden aufgehängt, deren Masse vernachlässigbar klein ist, so ist seine Schwingungsdauer in der Ebene der Fäden gleich der einer Punktmasse, die an einem der beiden Fäden befestigt ist. Das Parallelogrammpendel stellt also eine einfache Verwirklichung des mathematischen Pendels (siehe 24) dar.

28) physikalisches Pendel, physisches Pendel, Bezeichnung für einen starren Körper beliebiger Form und Massenverteilung, der um eine horizontale Achse, die nicht durch seinen Schwerpunkt geht, unter dem Einfluß der Schwerkraft Schwingungen um seine Ruhelage ausführt.

Die auf das gesamte Pendel wirkende Schwerkraft kann zu einer Resultierenden zusammengefaßt werden, die im Schwerpunkt S angreift. Wird das Pendel um den Winkel

aus der Ruhelage ausgelenkt (siehe Abb. 11), so übt die Schwerkraft

(

: Pendelmasse,

: Schwerebeschleunigung) das Drehmoment

aus (

: Abstand des Schwerpunkts von der Drehachse A). Für die Schwingung um die Achse A ergibt sich die Bewegungsgleichung



(

: Trägheitsmoment begzüglich der Achse A). Sie geht in die Differentialgleichung des mathematischen Pendels (siehe 24) über, wenn man die reduzierte Pendellänge

einführt. Ein physikalisches Pendel schwingt also genauso wie ein mathematisches mit der Pendellänge

und die für das mathematische Pendel gewonnenen Ergebnisse lassen sich auf das physikalische übertragen. Daher gilt z.B. für die Schwingungsdauer

bei kleinen Auslenkungen:



29) physisches Pendel, physikalisches Pendel (siehe 28).

30) räumliches Pendel, sphärisches Pendel, Kugelpendel (siehe 23).

31) Reversionspendel, Pendel mit zwei einander zugekehrten Schneiden, bei dem es durch Verschieben von Gewichten oder auch der Schneiden möglich ist, die Massenverteilung so zu verändern, daß die Schwingungsdauer um beide Schneiden dieselbe ist (siehe Abb. 12). Da die reduzierte Pendellänge dann genau dem Abstand der beiden Schneiden entspricht, der sehr genau gemessen werden kann, ist es mit dem Reversionspendel möglich, die Erdbeschleunigung mit Hilfe der für das mathematische Pendel (siehe 24) hergeleiteten Formeln sehr genau zu bestimmen.

32) Riefler-Pendel, Bezeichnung für die beiden von Riefler konstruierten Kompensationspendel (siehe 20).

33) Rollpendel, Bezeichnung für einen Zylinder mit unsymmetrischer Massenverteilung, der unter der Wirkung der Schwerkraft auf einer horizontalen Unterlage rollend schwingen kann.

34) Rostpendel, Kompensationspendel (siehe 20).

35) Schwerependel, ein Pendel, das seine Schwingungen unter dem Einfluß des Schwerefeldes ausführt.

36) Sekundenpendel, Bezeichnung für ein Pendel, das für einen Hin- oder Hergang je eine Sekunde benötigt, dessen Schwingungsdauer

also zwei Sekunden beträgt. Mit der mittleren Erdbeschleunigung g = 9,81 m / s2 ergibt sich die Länge des Sekundenpendels zu

cm (mathematisches Pendel, siehe 24). Auf Grund der unterschiedlichen Erdbeschleunigung beträgt seine Länge am Äquator 99,10 cm und an den Polen 99,63 cm.

37) Seismisches Pendel, Sammelname für alle Arten von Seismometerpendeln, d.h. von Pendeln, die den Hauptbestandteil von Seismometern bilden (Seismometrie).

38) stehendes Pendel, ein Pendel, dessen Schwerpunkt sich in der Ruhelage senkrecht über der Drehachse befindet. Zur Einhaltung der Nullage dient eine Blattfeder, deren Drehmoment

dem Drehmoment der Schwere

(jeweils für kleine Auslenkungen

) entgegenwirkt. Ist

sein Trägheitsmoment um die Drehachse, so beträgt die Schwingungsdauer



Da aus einer relativen Änderung der Schwingungsdauer auf eine Schwereänderung geschlossen werden kann, eignet sich dieses Pendel zur Ausführung relativer Schweremessungen.

39) Von-Sternecksches Pendel, von von Sterneck in die Geophysik eingeführtes Gerät zur Ausführung relativer Schweremessungen. Es ist in der ursprünglichen Form ein Halbsekundenpendel mit widerstandsarm geformter Pendelmasse und T-förmigem Schneidenträger. Der Pendelstab ist aus möglichst temperaturunempfindlichem Material, z.B. der Eisennickellegierung Invar (Kompensationspendel, siehe 20) hergestellt.

40) sphärisches Pendel, räumliches Pendel, Kugelpendel (siehe 23).

41) sympathische Pendel, gekoppelte Pendel (siehe 23).

42) Torsionspendel, Drehpendel, ein Pendel, bei dem nicht die Schwerkraft, sondern die Torsionselastizität einer Feder oder des Aufhängedrahtes die rücktreibende Kraft liefert. Diese ist innerhalb weiter Grenzen proportional zum Torsionswinkel und das Pendel führt daher harmonische Schwingungen aus.

43) Uhrenpendel, die in Pendeluhren zur Zeitmessung verwendeten Pendel, welche im allgemeinen als Kompensationspendel (siehe 20), bei astronomischen Uhren auch als Ausgleichspendel (siehe 1) konstruiert sind.

44) Waltenhofensches Pendel, Pendel zur Demonstration des Prinzips der Wirbelstrombremse.

45) Wiechert-Pendel, von E. Wiechert für seismologische Messungen konstruierte Pendel (Seismometrie).

46) Zeunersches Dreischneidenpendel, Pendel mit drei Schneiden, das die Bestimmung der Erdbeschleunigung

erlaubt, indem die Schwingungsdauer um jede der drei Schneiden einzeln gemessen wird.

47) Zweispitzenpendel, in der Seismometrie verwendetes Pendel.

48) Zykloidenpendel, Pendel, bei dem die Bewegung des Massenpunktes auf einer Zykloide verläuft. Während beim ebenen mathematischen Pendel (siehe 24) die Schwingungsdauer nur näherungsweise bei kleinen Auslenkungen unabhängig von der Amplitude ist, hat bereits Huygens gezeigt, daß die Schwingungsdauer unabhängig von der Amplitude wird, wenn sich der Massenpunkt statt auf einem Kreisbogen auf einer Zykloide bewegt. Deshalb wird diese mathematische Kurve auch Iso- oder Tautochrone genannt.

Die Führung eines Fadenpendels auf einer Zykloide läßt sich realisieren, indem man links und rechts vom Aufhängepunkt O zwei zykloidenförmige Backen anbringt (siehe Abb. 13), an die sich der Faden des Pendels bei seiner Schwingung anlegt. Eine solche Anordnung nennt man Huygens-Aufhängung oder tautochrone Aufhängung. Die Schwingungsdauer ist nun für beliebige Amplituden

, wobei

die Länge des Pendels und

die Schwerebeschleunigung sind.



Pendel 1: Doppelpendel: an einem ersten Pendel der Länge

und der Masse

hängt ein zweites der Länge

und der Masse

.



Pendel 2: Federpendel: Ausführung mit einer Spiralfeder (a) und einer Blattfeder (b).



Pendel 3: Foucaultsches Pendel: wird das Pendel aus der Ruhelage angestoßen, so führt es auf Grund der Erdrotation Rosettenbahnen mit Schleifen durch (a), wird es aus der Lage maximaler Auslenkung losgelassen, Rosettenbahnen mit Spitzen (b).



Pendel 4: gekoppelte Pendel.



Pendel 5: Zur Geometrie des Kegelpendels.



Pendel 6: Kreispendel, das zur Drehzahlregelung eingesetzt werden kann (Fliehkraftpendel).



Pendel 7: Rostpendel: eine mögliche Ausführung eines Kompensationspendel.



Pendel 8: Nickelstahl-Kompensationspendel von Riefler.



Pendel 9: Kugelpendel: möglicher Bahnverlauf beim Kugelpendel in Perspektive (links) und Draufsicht (rechts).



Pendel 10: Mathematisches Pendel: Geometrie zur Herleitung der Pendelgleichung.



Pendel 11: Physikalisches Pendel: im Gegensatz zum mathematischen Pendel ist die Massenverteilung beliebig.



Pendel 12: Reversionspendel zur genauen Bestimmung der Erdbeschleunigung.



Pendel 13: Zykloidenpendel: Die Schnur legt sich an die zykloidenförmigen Backen an. Dadurch wird die Schwingungsperiode unabhängig von der Auslenkung.

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Matthias Beurer

Physikhistorische Beratung:

Priv.-Doz. Dr. Dieter Hoffmann, Berlin

Autoren (A) und Berater (B):

In eckigen Klammern steht das Autorenkürzel, die Zahl in der runden Klammer ist die Fachgebietsnummer; eine Liste der Fachgebiete findet sich im Vorwort.

Markus Aspelmeyer, München [MA1] (A) (20)
Dr. Katja Bammel, Cagliari, I [KB2] (A) (13)
Doz. Dr. Hans-Georg Bartel, Berlin [HGB] (A) (02)
Steffen Bauer, Karlsruhe [SB2] (A) (20, 22)
Dr. Günther Beikert, Viernheim [GB1] (A) (04, 10, 25)
Prof. Dr. Hans Berckhemer, Frankfurt [HB1] (A, B) (29)
Dr. Werner Biberacher, Garching [WB] (B) (20)
Prof. Tamás S. Biró, Budapest [TB2] (A) (15)
Prof. Dr. Helmut Bokemeyer, Darmstadt [HB2] (A, B) (18)
Dr. Ulf Borgeest, Hamburg [UB2] (A) (Essay Quasare)
Dr. Thomas Bührke, Leimen [TB] (A) (32)
Jochen Büttner, Berlin [JB] (A) (02)
Dr. Matthias Delbrück, Dossenheim [MD] (A) (12, 24, 29)
Karl Eberl, Stuttgart [KE] (A) (Essay Molekularstrahlepitaxie)
Dr. Dietrich Einzel, Garching [DE] (A) (20)
Dr. Wolfgang Eisenberg, Leipzig [WE] (A) (15)
Dr. Frank Eisenhaber, Wien [FE] (A) (27)
Dr. Roger Erb, Kassel [RE1] (A) (33; Essay Optische Erscheinungen der Atmosphäre)
Dr. Christian Eurich, Bremen [CE] (A) (Essay Neuronale Netze)
Dr. Angelika Fallert-Müller, Groß-Zimmern [AFM] (A) (16, 26)
Stephan Fichtner, Heidelberg [SF] (A) (31)
Dr. Thomas Filk, Freiburg [TF3] (A) (10, 15; Essay Perkolationstheorie)
Natalie Fischer, Walldorf [NF] (A) (32)
Dr. Harald Fuchs, Münster [HF] (A) (Essay Rastersondenmikroskopie)
Dr. Thomas Fuhrmann, Mannheim [TF1] (A) (14)
Christian Fulda, Hannover [CF] (A) (07)
Dr. Harald Genz, Darmstadt [HG1] (A) (18)
Michael Gerding, Kühlungsborn [MG2] (A) (13)
Prof. Dr. Gerd Graßhoff, Bern [GG] (A) (02)
Andrea Greiner, Heidelberg [AG1] (A) (06)
Uwe Grigoleit, Weinheim [UG] (A) (13)
Prof. Dr. Michael Grodzicki, Salzburg [MG1] (B) (01, 16)
Gunther Hadwich, München [GH] (A) (20)
Dr. Andreas Heilmann, Halle [AH1] (A) (20, 21)
Carsten Heinisch, Kaiserslautern [CH] (A) (03)
Dr. Christoph Heinze, Hamburg [CH3] (A) (29)
Dr. Marc Hemberger, Heidelberg [MH2] (A) (19)
Florian Herold, München [FH] (A) (20)
Dr. Hermann Hinsch, Heidelberg [HH2] (A) (22)
Priv.-Doz. Dr. Dieter Hoffmann, Berlin [DH2] (A, B) (02)
Dr. Georg Hoffmann, Gif-sur-Yvette, FR [GH1] (A) (29)
Dr. Gert Jacobi, Hamburg [GJ] (B) (09)
Renate Jerecic, Heidelberg [RJ] (A) (28)
Dr. Catherine Journet, Stuttgart [CJ] (A) (Essay Nanoröhrchen)
Prof. Dr. Josef Kallrath, Ludwigshafen, [JK] (A) (04; Essay Numerische Methoden in der Physik)
Priv.-Doz. Dr. Claus Kiefer, Freiburg [CK] (A) (14, 15; Essay Quantengravitation)
Richard Kilian, Wiesbaden [RK3] (22)
Dr. Ulrich Kilian, Heidelberg [UK] (A) (19)
Dr. Uwe Klemradt, München [UK1] (A) (20, Essay Phasenübergänge und kritische Phänomene)
Dr. Achim Knoll, Karlsruhe [AK1] (A) (20)
Dr. Alexei Kojevnikov, College Park, USA [AK3] (A) (02)
Dr. Berndt Koslowski, Ulm [BK] (A) (Essay Ober- und Grenzflächenphysik)
Dr. Bernd Krause, München [BK1] (A) (19)
Dr. Jens Kreisel, Grenoble [JK2] (A) (20)
Dr. Gero Kube, Mainz [GK] (A) (18)
Ralph Kühnle, Heidelberg [RK1] (A) (05)
Volker Lauff, Magdeburg [VL] (A) (04)
Priv.-Doz. Dr. Axel Lorke, München [AL] (A) (20)
Dr. Andreas Markwitz, Lower Hutt, NZ [AM1] (A) (21)
Holger Mathiszik, Celle [HM3] (A) (29)
Dr. Dirk Metzger, Mannheim [DM] (A) (07)
Prof. Dr. Karl von Meyenn, München [KVM] (A) (02)
Dr. Rudi Michalak, Augsburg [RM1] (A) (23)
Helmut Milde, Dresden [HM1] (A) (09)
Günter Milde, Dresden [GM1] (A) (12)
Marita Milde, Dresden [MM2] (A) (12)
Dr. Andreas Müller, Kiel [AM2] (A) (33)
Dr. Nikolaus Nestle, Leipzig [NN] (A, B) (05, 20; Essays Molekularstrahlepitaxie, Ober- und Grenzflächenphysik und Rastersondenmikroskopie)
Dr. Thomas Otto, Genf [TO] (A) (06)
Dr. Ulrich Parlitz, Göttingen [UP1] (A) (11)
Christof Pflumm, Karlsruhe [CP] (A) (06, 08)
Dr. Oliver Probst, Monterrey, Mexico [OP] (A) (30)
Dr. Roland Andreas Puntigam, München [RAP] (A) (14)
Dr. Andrea Quintel, Stuttgart [AQ] (A) (Essay Nanoröhrchen)
Dr. Gunnar Radons, Mannheim [GR1] (A) (01, 02, 32)
Dr. Max Rauner, Weinheim [MR3] (A) (15; Essay Quanteninformatik)
Robert Raussendorf, München [RR1] (A) (19)
Ingrid Reiser, Manhattan, USA [IR] (A) (16)
Dr. Uwe Renner, Leipzig [UR] (A) (10)
Dr. Ursula Resch-Esser, Berlin [URE] (A) (21)
Dr. Peter Oliver Roll, Ingelheim [OR1] (A, B) (15; Essay Quantenmechanik und ihre Interpretationen)
Prof. Dr. Siegmar Roth, Stuttgart [SR] (A) (Essay Nanoröhrchen)
Hans-Jörg Rutsch, Walldorf [HJR] (A) (29)
Dr. Margit Sarstedt, Leuven, B [MS2] (A) (25)
Rolf Sauermost, Waldkirch [RS1] (A) (02)
Matthias Schemmel, Berlin [MS4] (A) (02)
Michael Schmid, Stuttgart [MS5] (A) (Essay Nanoröhrchen)
Dr. Martin Schön, Konstanz [MS] (A) (14)
Jörg Schuler, Taunusstein [JS1] (A) (06, 08)
Dr. Joachim Schüller, Dossenheim [JS2] (A) (10)
Richard Schwalbach, Mainz [RS2] (A) (17)
Prof. Dr. Paul Steinhardt, Princeton, USA [PS] (A) (Essay Quasikristalle und Quasi-Elementarzellen)
Prof. Dr. Klaus Stierstadt, München [KS] (B)
Dr. Siegmund Stintzing, München [SS1] (A) (22)
Cornelius Suchy, Brüssel [CS2] (A) (20)
Dr. Volker Theileis, München [VT] (A) (20)
Prof. Dr. Gerald 't Hooft, Utrecht, NL [GT2] (A) (Essay Renormierung)
Dr. Annette Vogt, Berlin [AV] (A) (02)
Dr. Thomas Volkmann, Köln [TV] (A) (20)
Rolf vom Stein, Köln [RVS] (A) (29)
Patrick Voss-de Haan, Mainz [PVDH] (A) (17)
Dr. Thomas Wagner, Heidelberg [TW2] (A) (29)
Dr. Hildegard Wasmuth-Fries, Ludwigshafen [HWF] (A) (26)
Manfred Weber, Frankfurt [MW1] (A) (28)
Priv.-Doz. Dr. Burghard Weiss, Lübeck [BW2] (A) (02)
Prof. Dr. Klaus Winter, Berlin [KW] (A) (Essay Neutrinophysik)
Dr. Achim Wixforth, München [AW1] (A) (20)
Dr. Steffen Wolf, Berkeley, USA [SW] (A) (16)
Priv.-Doz. Dr. Jochen Wosnitza, Karlsruhe [JW] (A) (23; Essay Organische Supraleiter)
Priv.-Doz. Dr. Jörg Zegenhagen, Stuttgart [JZ3] (A) (21; Essay Oberflächenrekonstruktionen)
Dr. Kai Zuber, Dortmund [KZ] (A) (19)
Dr. Werner Zwerger, München [WZ] (A) (20)

Mitarbeiter Band V

Dr. Ulrich Kilian (verantwortlich)
Christine Weber

Redaktionsassistenz:

Matthias Beurer

Physikhistorische Beratung:

Priv.-Doz. Dr. Dieter Hoffmann, Berlin

Autoren (A) und Berater (B):

In eckigen Klammern steht das Autorenkürzel, die Zahl in der runden Klammer ist die Fachgebietsnummer; eine Liste der Fachgebiete findet sich im Vorwort.

Prof. Dr. Klaus Andres, Garching [KA] (A) (10)
Markus Aspelmeyer, München [MA1] (A) (20)
Dr. Katja Bammel, Cagliari, I [KB2] (A) (13)
Doz. Dr. Hans-Georg Bartel, Berlin [HGB] (A) (02)
Steffen Bauer, Karlsruhe [SB2] (A) (20, 22)
Dr. Günther Beikert, Viernheim [GB1] (A) (04, 10, 25)
Prof. Dr. Hans Berckhemer, Frankfurt [HB1] (A, B) (29; Essay Seismologie)
Dr. Werner Biberacher, Garching [WB] (B) (20)
Prof. Tamás S. Biró, Budapest [TB2] (A) (15)
Prof. Dr. Helmut Bokemeyer, Darmstadt [HB2] (A, B) (18)
Dr. Thomas Bührke, Leimen [TB] (A) (32)
Jochen Büttner, Berlin [JB] (A) (02)
Dr. Matthias Delbrück, Dossenheim [MD] (A) (12, 24, 29)
Prof. Dr. Martin Dressel, Stuttgart (A) (Essay Spindichtewellen)
Dr. Michael Eckert, München [ME] (A) (02)
Dr. Dietrich Einzel, Garching (A) (Essay Supraleitung und Suprafluidität)
Dr. Wolfgang Eisenberg, Leipzig [WE] (A) (15)
Dr. Frank Eisenhaber, Wien [FE] (A) (27)
Dr. Roger Erb, Kassel [RE1] (A) (33)
Dr. Angelika Fallert-Müller, Groß-Zimmern [AFM] (A) (16, 26)
Stephan Fichtner, Heidelberg [SF] (A) (31)
Dr. Thomas Filk, Freiburg [TF3] (A) (10, 15)
Natalie Fischer, Walldorf [NF] (A) (32)
Dr. Thomas Fuhrmann, Mannheim [TF1] (A) (14)
Christian Fulda, Hannover [CF] (A) (07)
Frank Gabler, Frankfurt [FG1] (A) (22)
Dr. Harald Genz, Darmstadt [HG1] (A) (18)
Prof. Dr. Henning Genz, Karlsruhe [HG2] (A) (Essays Symmetrie und Vakuum)
Dr. Michael Gerding, Potsdam [MG2] (A) (13)
Andrea Greiner, Heidelberg [AG1] (A) (06)
Uwe Grigoleit, Weinheim [UG] (A) (13)
Gunther Hadwich, München [GH] (A) (20)
Dr. Andreas Heilmann, Halle [AH1] (A) (20, 21)
Carsten Heinisch, Kaiserslautern [CH] (A) (03)
Dr. Marc Hemberger, Heidelberg [MH2] (A) (19)
Dr. Sascha Hilgenfeldt, Cambridge, USA (A) (Essay Sonolumineszenz)
Dr. Hermann Hinsch, Heidelberg [HH2] (A) (22)
Priv.-Doz. Dr. Dieter Hoffmann, Berlin [DH2] (A, B) (02)
Dr. Gert Jacobi, Hamburg [GJ] (B) (09)
Renate Jerecic, Heidelberg [RJ] (A) (28)
Prof. Dr. Josef Kallrath, Ludwigshafen [JK] (A) (04)
Priv.-Doz. Dr. Claus Kiefer, Freiburg [CK] (A) (14, 15)
Richard Kilian, Wiesbaden [RK3] (22)
Dr. Ulrich Kilian, Heidelberg [UK] (A) (19)
Thomas Kluge, Jülich [TK] (A) (20)
Dr. Achim Knoll, Karlsruhe [AK1] (A) (20)
Dr. Alexei Kojevnikov, College Park, USA [AK3] (A) (02)
Dr. Bernd Krause, München [BK1] (A) (19)
Dr. Gero Kube, Mainz [GK] (A) (18)
Ralph Kühnle, Heidelberg [RK1] (A) (05)
Volker Lauff, Magdeburg [VL] (A) (04)
Dr. Anton Lerf, Garching [AL1] (A) (23)
Dr. Detlef Lohse, Twente, NL (A) (Essay Sonolumineszenz)
Priv.-Doz. Dr. Axel Lorke, München [AL] (A) (20)
Prof. Dr. Jan Louis, Halle (A) (Essay Stringtheorie)
Dr. Andreas Markwitz, Lower Hutt, NZ [AM1] (A) (21)
Holger Mathiszik, Celle [HM3] (A) (29)
Dr. Dirk Metzger, Mannheim [DM] (A) (07)
Dr. Rudi Michalak, Dresden [RM1] (A) (23; Essay Tieftemperaturphysik)
Günter Milde, Dresden [GM1] (A) (12)
Helmut Milde, Dresden [HM1] (A) (09)
Marita Milde, Dresden [MM2] (A) (12)
Prof. Dr. Andreas Müller, Trier [AM2] (A) (33)
Prof. Dr. Karl Otto Münnich, Heidelberg (A) (Essay Umweltphysik)
Dr. Nikolaus Nestle, Leipzig [NN] (A, B) (05, 20)
Dr. Thomas Otto, Genf [TO] (A) (06)
Priv.-Doz. Dr. Ulrich Parlitz, Göttingen [UP1] (A) (11)
Christof Pflumm, Karlsruhe [CP] (A) (06, 08)
Dr. Oliver Probst, Monterrey, Mexico [OP] (A) (30)
Dr. Roland Andreas Puntigam, München [RAP] (A) (14)
Dr. Gunnar Radons, Mannheim [GR1] (A) (01, 02, 32)
Dr. Max Rauner, Weinheim [MR3] (A) (15)
Robert Raussendorf, München [RR1] (A) (19)
Ingrid Reiser, Manhattan, USA [IR] (A) (16)
Dr. Uwe Renner, Leipzig [UR] (A) (10)
Dr. Ursula Resch-Esser, Berlin [URE] (A) (21)
Dr. Peter Oliver Roll, Ingelheim [OR1] (A, B) (15)
Hans-Jörg Rutsch, Walldorf [HJR] (A) (29)
Rolf Sauermost, Waldkirch [RS1] (A) (02)
Matthias Schemmel, Berlin [MS4] (A) (02)
Prof. Dr. Erhard Scholz, Wuppertal [ES] (A) (02)
Dr. Martin Schön, Konstanz [MS] (A) (14; Essay Spezielle Relativitätstheorie)
Dr. Erwin Schuberth, Garching [ES4] (A) (23)
Jörg Schuler, Taunusstein [JS1] (A) (06, 08)
Dr. Joachim Schüller, Dossenheim [JS2] (A) (10)
Richard Schwalbach, Mainz [RS2] (A) (17)
Prof. Dr. Klaus Stierstadt, München [KS] (B)
Dr. Siegmund Stintzing, München [SS1] (A) (22)
Dr. Berthold Suchan, Gießen [BS] (A) (Essay Wissenschaftsphilosophie)
Cornelius Suchy, Brüssel [CS2] (A) (20)
Dr. Volker Theileis, München [VT] (A) (20)
Prof. Dr. Stefan Theisen, München (A) (Essay Stringtheorie)
Dr. Annette Vogt, Berlin [AV] (A) (02)
Dr. Thomas Volkmann, Köln [TV] (A) (20)
Rolf vom Stein, Köln [RVS] (A) (29)
Dr. Patrick Voss-de Haan, Mainz [PVDH] (A) (17)
Dr. Thomas Wagner, Heidelberg [TW2] (A) (29)
Manfred Weber, Frankfurt [MW1] (A) (28)
Dr. Martin Werner, Hamburg [MW] (A) (29)
Dr. Achim Wixforth, München [AW1] (A) (20)
Dr. Steffen Wolf, Berkeley, USA [SW] (A) (16)
Dr. Stefan L. Wolff, München [SW1] (A) (02)
Priv.-Doz. Dr. Jochen Wosnitza, Karlsruhe [JW] (A) (23)
Dr. Kai Zuber, Dortmund [KZ] (A) (19)
Dr. Werner Zwerger, München [WZ] (A) (20)

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