Stellen Sie sich vor, Sie fahren auf der Autobahn und bemerken, dass Ihr Tank bald leer ist. Auf Ihrer weiteren Route gibt es zehn Tankstellen. Natürlich wollen Sie möglichst günstig tanken. Deshalb fahren Sie an den ersten Zapfsäulen vorbei und studieren erst einmal die Preise. Dann erreichen Sie eine günstige Tankstelle. Halten Sie an, weil Sie befürchten, dass keine günstigeren Angebote mehr kommen? Oder fahren Sie weiter und riskieren damit, ein gutes Angebot zu verpassen? Sie müssen sich entscheiden: jetzt oder nie. Wie steigern Sie Ihre Chance, die billigste Tankstelle zu wählen?

Empirische Studien legen nahe, dass viele Menschen in solchen Situationen nicht optimal entscheiden. Dabei gibt es eine überraschend einfache Lösung für das so genannte Best-Choice-Problem: Eine elegante mathematische Formel liefert die optimale Strategie.

Das Szenario ist auch als »Sekretärinnenproblem« oder »Heiratsproblem« bekannt. Beiden liegt dieselbe mathematische Aufgabe zu Grunde: beim Begutachten einer bekannten Anzahl von Optionen im richtigen Moment die Suche zu beenden; danach kann man die Entscheidung nicht revidieren. Wer zum Beispiel die ersten neun von zehn möglichen Kandidaten ablehnt, muss den zehnten nehmen. Die Angebote kommen in zufälliger Reihenfolge, so dass es keinen Grund gibt, die besten eher am Anfang, in der Mitte oder gegen Ende zu erwarten.

Mit dieser Strategie würde man auch bei einer Milliarde Möglichkeiten in mehr als einem Drittel der Fälle den Hauptgewinn einfahren

Zurück zu einem praktischen Anwendungsfall: Wenn Sie unter 1000 möglichen Dating-Angeboten auswählen könnten, dabei aber eine Person nach der anderen entweder annehmen oder ablehnen müssten: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie die richtige finden? Wenn Sie per Zufall entscheiden, liegen die Chancen bei 0,1 Prozent. Selbst wenn Sie nicht einfach nur nach dem Zufallsprinzip entscheiden, könnten Sie Pech haben. Die beste Option könnte beispielsweise so früh auftauchen, dass Sie sie nicht als solche erkennen, weil es Ihnen noch an Vergleichsmöglichkeiten fehlt. Oder sie kommt so spät, dass Sie zuvor schon ein mittelmäßiges Angebot annehmen, weil Ihnen alle anderen noch weniger zusagten.

Mit der optimalen Strategie trifft man dagegen in fast 37 Prozent der Fälle die beste Wahl. Die Erfolgsquote hängt nicht von der Anzahl der Möglichkeiten ab; selbst bei einer Milliarde würde man in mehr als einem Drittel der Fälle den Hauptgewinn einfahren. Die Strategie ist ganz einfach: Lehnen Sie die ersten rund 37 Prozent ab und wählen Sie dann die nächste Option, die besser ist als alle anderen, die Ihnen zuvor begegnet sind.

Die magische eulersche Zahl

In der rechnerischen Lösung taucht eine Konstante der Mathematik – e = 2,7183… – auf, auch als eulersche Zahl bekannt. Sie ist geradezu berüchtigt, weil sie in den unterschiedlichsten Kontexten eine Rolle spielt, darunter auch beim Best-Choice-Problem. Denn tatsächlich lautet die Lösung für das Problem 1/e oder zirka 0,368. Die magische Zahl ergibt sich aus zwei widerstreitenden Zielen: lange genug abzuwarten, um genügend Informationen zu sammeln, aber auch nicht zu lange zu warten, um die beste Option nicht zu verpassen. Dass 1/e diese Kräfte ausbalanciert, lässt sich mathematisch beweisen.

Der erste bekannte schriftliche Hinweis auf das Problem erschien in Martin Gardners beliebter Kolumne »Mathematical Games« in »Scientific American«. In den 1950er Jahren verbreitete es sich durch Mundpropaganda in der mathematischen Gemeinschaft. Gardner stellte es im Februar 1960 als kleines Rätsel unter dem Namen »Googol« vor, gefolgt von einer Lösung im nächsten Monat. Heute generiert das Best-Choice-Problem auf Google Scholar Tausende von Treffern, da Mathematiker weiterhin seine vielen Varianten untersuchen. Was, wenn man mehr als eine Option wählen darf und man gewonnen hat, wenn nur eine der gewählten Optionen die beste ist? Was, wenn jemand die Reihenfolge der Optionen mit dem Ziel bestimmen darf, die Wahl damit zu erschweren? Was, wenn man sich mit der zweit- oder drittbesten Wahl zufriedengeben würde? Forschende untersuchen diese und zahlreiche andere Szenarien in einem Zweig der Mathematik, der »Theorie des optimalen Stoppens«.

Wann die Strategie scheitert

Der Mathematiklehrer David Wees wandte die Best-Choice-Strategie auf sein Privatleben an. Bei einer Wohnungssuche stellte er fest, dass er eine schöne Wohnung nur dann bekommt, wenn er bei der Besichtigung sofort zusagt, weil sie sonst schnell an jemand anders vergeben wird. Er schätzte, dass er sich innerhalb von sechs Monaten insgesamt 26 Wohnungen ansehen könnte. Nach der 37-Prozent-Regel musste er die ersten zehn Wohnungen ablehnen und danach die erste nehmen, die ihm besser gefiel als alle anderen vorher. Ohne die verbleibenden Wohnungen zu besichtigen, konnte er zwar nicht wissen, ob er tatsächlich die beste gefunden hatte. Aber er konnte zumindest beruhigt sein, seine Chancen maximiert zu haben.

Michael Trick, heute Dekan der Carnegie Mellon University in Katar, wandte in seinen Zwanzigern ähnliche Überlegungen auf sein Liebesleben an. Er ging davon aus, dass Menschen mit 18 Jahren mit dem Dating beginnen, mit spätestens 40 damit aufhören wollen und in der Zeit dazwischen kontinuierlich potenzielle Partnerinnen treffen. Übertragen auf diese Zeitspanne bedeutet die 37-Prozent-Regel, dass er bis zum Alter von 26 Jahren daten konnte, ohne sich für jemanden zu entscheiden. Zu diesem Zeitpunkt, so schwor er sich, würde er der ersten Frau einen Heiratsantrag machen, die ihm besser gefiel als alle anderen vor ihr. Und genau das tat er auch – und erhielt eine Abfuhr. Sein Beispiel zeigt, dass die Best-Choice-Regel nicht immer gilt; unter anderem dann nicht, wenn beide Seiten ablehnen können. Aber vielleicht sind mathematische Lösungsansätze im Liebesleben ohnehin fehl am Platz.

In anderen Lebensbereichen kann die Strategie durchaus helfen. Studien zeigen, dass Menschen ihre Suche eher zu früh abbrechen, wenn sie mit dem Best-Choice-Problem konfrontiert werden. Damit die 37-Prozent-Regel funktioniert, müssen allerdings mehrere Bedingungen zutreffen: Es gibt eine beste Option, die Anzahl der Optionen ist bekannt, und sie tauchen in zufälliger Reihenfolge auf. Außerdem wird die Strategie obsolet, wenn man nicht auf der Stelle entscheiden muss oder die Entscheidung später revidieren darf. Verändert sich eine der Bedingungen, verändert sich auch die optimale Strategie. Zum Beispiel, wenn man nicht unbedingt die allerbeste Option finden will, sondern lediglich eine der besten: In diesem Fall kann man sich in der Regel schon nach weniger als 37 Prozent für eine entscheiden (siehe Diskussionen hier und hier). Aber egal, vor welcher Wahl Sie stehen – wahrscheinlich gibt es einen mathematisch optimalen Zeitpunkt, die Suche zu beenden.