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Lexikon der Mathematik: Chetaev-Funktion

Funktion, die ein hinreichendes Kriterium für die Instabilität eines Fixpunktes eines Vektorfeldes liefert.

Sei W ⊂ ℝn offen und f : W → ℝn ein Vektorfeld. Weiter sei x0W Fixpunkt von f. Eine Chetaev-Funktion (für f bzgl. x0) ist eine Funktion V, für die gilt:

  1. V ist auf einem Gebiet UW definiert, für das eine ϵ-Kugel Bϵ(x0) um x0 existiert so, daß der Teil des Randes von W, der in B(x0) \ {x0} liegt, eine stückweise C1-Hyperfläche ist.Auf diesem Rand weist das Vektorfeld in das Innere des Gebietes W.
  2. Es gilt V(x) > 0 (xW), und in W ist \(\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{x\to {x}_{0}}V(x)=0\).
  3. DV(x)f(x) > 0 für xW.

Folgender Satz ermöglicht mit Hilfe einer Chetaev-Funktion die Untersuchung von Fixpunkten auf Instabilität:

Sei f : W → ℝn ein auf einer offenen Menge W ⊂ ℝn definiertes Vektorfeld mit einem isolierten Fixpunkt x0W. Existiert für f bzgl. x0eine Chetaev-Funktion, so ist x0instabil.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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