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Lexikon der Mathematik: Edgeworth-Approximation

Methode zur Annäherung einer Verteilungsfunktion.

Man benutzt dabei die sogenannten Edgeworth-Entwicklungen, die auf Arbeiten von Tschebyschew (1890) und Edgeworth (1896, 1905) zurückgehen. Es bezeichne S eine reelle Zufallsvariable, deren Momente mk = E(Sk), k ∈ ℕ, und deren momenterzeugende Funktion

\begin{eqnarray}{\varphi }_{S}(t)=E({e}^{tS})=\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\frac{{m}_{n}}{n!}{t}^{n}\end{eqnarray}

für alle t in einer Umgebung des Nullpunktes existieren. Läßt sich ϕS(t) in eine Reihe der Form

\begin{eqnarray}{\varphi }_{S}(t)={e}^{{t}^{2}/2}\cdot \displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{a}_{n}\cdot {t}^{n}\end{eqnarray}

entwickeln, so gilt für die Verteilungsfunktion FS von S

\begin{eqnarray}{F}_{S}(x)=P(S\le x)=\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }{a}_{i}{(-1)}^{i}{\Phi }^{(i)}(x)\end{eqnarray}

mit der Verteilungsfunktion Φ der Standardnormalverteilung. Durch Abbrechen dieser Reihe nach n Gliedern erhält man die Edgeworth-Approximation der Ordnung n.

Bei der näherungsweisen Berechnung von Gesamtschadenverteilungen in der Versicherungsmathematik finden Edgeworth-Approximationen Anwendung.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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