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Lexikon der Mathematik: Einheit

spezielles Element eines Ringes.

Es sei R ein Ring mit der Verknüpfung · und mit einem von 0 verschiedenen Einselement 1. Dann heißt ein Element aR eine Einheit von R, falls es ein Element bR gibt mit der Eigenschaft \begin{eqnarray}a\cdot b=b\cdot a=1.\end{eqnarray}

Bezeichnet man die Menge aller Einheiten von R mit R×, so ist mit aR× und bR× auch a · bR×. Zusammen mit der Verknüpfung · bildet R× dann eine Gruppe, die Einheitengruppe, deren Einselement das Einselement des Ringes R ist. Der Ring R ist genau dann ein Schiefkörper, wenn R× = R\{0} gilt.

Im Ring ℤ der ganzen Zahlen gibt es genau die beiden Einheiten 1 und −1. Dagegen gibt es im Ring der ganzen Gaußschen Zahlen die vier Einheiten 1, −1, i und −i.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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