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Lexikon der Mathematik: elliptischer Operator

ein linearer Operator \begin{eqnarray}D:{C}^{\infty }(M)\to {C}^{\infty }(M)\end{eqnarray} mit einer kompakten reellen n-dimensionalen Mannigfaltigkeit M, der in lokalen Koordinaten die Form \begin{eqnarray}Df(x):=\displaystyle \sum _{|\alpha |\le k}{A}_{\alpha }(x){f}_{\alpha }(x)\end{eqnarray} für alle xU ⊂ ℝn hat.

Dabei ist f : U → ℂm eine glatte Funktion und Aα (x) eine komplexe (m × m)-Matrix. Für die Abbildung \begin{eqnarray}\sigma (x,\xi ):=\displaystyle \sum _{|\alpha |=k}{A}_{\alpha }(x){\xi }^{\alpha },\end{eqnarray} wobei die partiellen Ableitungen in der Gleichung für Df (x) durch die reellen Variablen ξi ersetzt wurden, muß gelten, daß σ(x, ξ) : ℂm → ℂm für alle xU und ξ ∈ ℝn mit von Null verschiedenem ξ bijektiv ist.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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