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Lexikon der Mathematik: Erhaltungsform

spezielle Darstellung einer partiellen Differentialgleichung, bei der alle Terme, in denen Ableitungen der gesuchten Funktionen auftreten, die Form von Divergenzausdrücken haben.

Dies entsteht meist bei Gleichungen mit physikalischen Hintergrund, in denen Erhaltungsgesetze ausgenutzt oder dargestellt werden (z. B. Energie, Impuls, Masse).

Mit Hilfe von Erhaltungsformen lassen sich schwache Lösungen definieren. Beispielsweise ist das Anfangswertproblem \begin{array}{l}{u}_{t}+{(a(u))}_{x}+b(x,u)=0,\,\,\,u(x,0)={u}_{0}\\ -\infty \lt x\lt \infty,\,\,\,t\ge 0\end{array} in Erhaltungsform.

Für eine beliebige differenzierbare Funktion w(x, t) mit kompaktem Träger in ℝ × [0, ∞) ist stets \begin{eqnarray}0=\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{{\mathbb{R}}}w{({u}_{t}+(a(u))}_{x}+b(x,u))dxdt.\end{eqnarray}

Partielle Integration ergibt \begin{eqnarray}0=\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{{\mathbb{R}}}{w}_{t}u+{w}_{x}a(u)-wb(x,u))dxdt+\displaystyle \mathop{\int }\limits_{{\mathbb{R}}}w(x,0){u}_{0}(x)dx.\end{eqnarray}

Man nennt u(x, t) eine schwache Lösung, falls u beschränkt ist und es für jedes zugelassene w diese Relation erfüllt.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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