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Lexikon der Mathematik: Eulersche Zahlen

sind im wesentlichen die Koeffizienten der Taylor-Reihe der Funktion \begin{eqnarray}f(z)=\frac{1}{\cos z}.\end{eqnarray}

Genauer gilt für \(|z|\space =\space \frac{\pi }{2}\)\begin{eqnarray}\frac{1}{\cos z}=\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\frac{{E}_{2n}}{(2n)!}{z}^{2n},\end{eqnarray} wobei E2n die 2n-te Eulersche Zahl ist.

Man erhält E2n ∈ ℕ für alle n ∈ ℕ0. Zum Beispiel gilt \begin{array}{l}{E}_{0}={E}_{2}=1,\space {E}_{4}=5,\space {E}_{6}=61,\\ {E}_{8}=1385,\space {E}_{10}=50521.\end{array}

Es besteht ein Zusammenhang zu den Bernoullischen Zahlen, nämlich \begin{eqnarray}{E}_{2n}={(-1)}^{n}\frac{{4}^{2n+1}}{2n+1}{\left({B}_{n}-\frac{1}{4}\right)}^{2n+1}\end{eqnarray} für n ∈ ℕ.

Es sei ausdrücklich darauf hingewiesen, daß es hier aus historischen Gründen zu einer Notationsschwierigkeit kommt: Die Eulersche Zahl e gehört natürlich nicht zur Menge der hier, wie in der Literatur üblich, mit großen Buchstaben bezeichneten Eulerschen Zahlen E2n.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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