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Lexikon der Mathematik: Fréchet-Metrik

Metrik auf der Menge der Fréchet-Kurven.

Es sei M ein metrischer Raum mit der Metrik d. Dann heißen zwei stetige Abbildungen γ : [a, b] → M und y′ : [a′, b′] → M Fréchet-äquivalent, wenn zu jedem ε > 0 ein Homöomorphismus h : [a, b] → [a′, b′] existiert, so daß für jedes t ∈ [a, b] gilt:

\begin{eqnarray}d(\gamma(t),\gamma^{\prime}(h(t)))< \varepsilon.\end{eqnarray}

.

Eine Klasse Freéchet-äquivalenter stetiger Abbildungen abgeschlossener Intervalle in den Raum M heißt eine Fréchet-Kurve. Eine Fréchet-Kurve ist durch jede beliebige ihrer Darstellungen γ charakterisiert.

Bezeichnet man dann bei gegebenem metrischem Raum M die Menge aller Fréchet-Kurven mit Γ(M), so kann man auf Γ(M) einen Abstand definieren. Sind Γ und Γ′ Fréchet-Kurven mit den Darstellungen γ : [a, b] → M und γ′ : [a′, b′] → M, so definiert man (, ′) als das Infimum aller Zahlen δ, für die es einen Homöomorphismus h : [a, b] → [a′, b′] gibt mit der Eigenschaft, daß für jedes t ∈ [a, b] die Ungleichung \(d(\gamma(t),\gamma^{\prime}(h(t)))\leq \delta\) gilt.

Dieser Abstand ist von den gewählten Darstellungen unabhängig und immer endlich. Zusammen mit dem Abstand dΓ wird die Menge Γ(M) zu einem metrischen Raum, dessen Metrik man als Fréchet- Metrik bezeichnet.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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