Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: Gauß-Manin-Zusammenhang

Begriffsbildung in Hinblick auf die Frage, wie Perioden von Integralen auf glatten kompletten algebraischen Varietäten von Parametern abhängen, wenn die Varietät selbst von Parametern abhängt. Sie genügen einem bestimmten System von Differentialgleichungen; z. B. erfüllen die Perioden \(\omega \space =\space \displaystyle {\int }_{\gamma }\frac{dx}{y}\) (γ eine geschlossene Kurve, die nicht von λ abhängt) der durch \(\lambda \space \in \space {{\mathbb{A}}}^{1}\backslash \{0,1\}\) parametrisierten Familie elliptischer Kurven \begin{eqnarray}{E}_{\lambda }:\space \space {y}^{2}=x(x-1)(x-\lambda )\end{eqnarray} die Differentialgleichung \begin{eqnarray}4\lambda (\lambda -1)\frac{{d}^{2}\omega }{d{\lambda }^{2}}+4(\lambda -1)\frac{d\omega }{d\lambda }+\omega =0.\end{eqnarray}

Ist \(X\space \mathop{\to }\limits^{\pi }\space S\) ein glatter eigentlicher Morphismus komplexer Mannigfaltigkeiten, so ist π eine lokal triviale Faserung im C-Sinne, daher sind die Garben R*X lokal konstant (mit der Faser H* (Xs, ℂ), Xs = π−1 (s)).

Man erhält also holomorphe Vektorbündel \begin{eqnarray}{{\mathscr{H}}}^{* }(X|S)={{\mathscr{O}}}_{S}\otimes {R}^{* }{\pi }_{* }{{\mathbb{C}}}_{X}\end{eqnarray} mit einem flachen Zusammenhang D, dem Gauß-Manin-Zusammenhang.

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnervideos