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Lexikon der Mathematik: Goldener-Schnitt-Algorithmus

ein Verfahren zur Approximation eines bestimmten Punktes \(\bar{x}\) in einem endlichen Intervall [a1, b1].

Dabei kann \(\bar{x}\) beispielsweise Nullstelle einer stetigen Funktion oder Extremalpunkt einer unimodalen Funktion f : [a1, b1] → ℝ sein.

Das Verfahren konstruiert eine Intervallschachtelung für \(\bar{x}\), indem in jedem Schritt ein aktuelles Intervall \begin{eqnarray}[{a}_{k},\,{b}_{k}]\,\subseteq \,[{a}_{k-1},\,{b}_{k-1}]\end{eqnarray} mit \(\bar{x}\,\in \,[{a}_{k},\,{b}_{k}]\) durch geeignete Wahl von xk+1 ∈ [ak, bk] entweder zu [ak, xk+1] oder zu [xk+1, bk] verkleinert wird. Der Punkt xk+1 wird dabei gemäß \begin{eqnarray}{x}_{k+1}\,\,:={a}_{k}\,+\,(1\,-\,\phi )\,\cdot \,({b}_{k}\,-\,{a}_{k})\end{eqnarray} berechnet, wobei \(\phi \,:=\frac{1}{2}\,\cdot \,\,(\sqrt{5}\,-\,1)\) die Konstante des Goldenen Schnitts bezeichnet. Die Entscheidung, ob ak+1 := xk+1 oder bk+1 := xk+1 gesetzt wird, fällt dabei z. B. durch Vergleich der Funktionswerte von f in ak, bk und xk+1.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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