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Lexikon der Mathematik: Grüss-Funktion

die 1943 von Gerhard Grüss untersuchte, durch \begin{eqnarray}g(x)=\left\{\begin{array}{c}{x}^{2}\,(2+\sin \frac{1}{x}) &, & x\ne0\\0 &, & x=0\end{array}\right.\end{eqnarray} definierte differenzierbare Funktion g : ℝ → ℝ mit der an der Stelle 0 unstetigen Ableitung: \begin{eqnarray}{g}^{\prime}(x)=\left\{\begin{array}{c}2x(2+\sin\frac{1}{x})-\cos\frac{1}{x}&, & x\ne0\\0&, & x=0\end{array}\right.\end{eqnarray}g hat an der Stelle 0 das strenge globale Minimum g(0) = 0. In jedem Intervall (−ϵ, 0) gibt es Stellen a mit g′(a) > 0, und in jedem Intervall (0, ϵ) gibt es Stellen b mit g′(b)< 0 – man betrachte für n ∈ ℕ etwa an = −1/((2n + 1)π) und bn = 1/(2).

Die Grüss-Funktion zeigt, daß für eine differenzierbare Funktion f : ℝ → ℝ und a ∈ ℝ die für ein strenges lokales Minimum von f an der Stelle a hinreichende Bedingung \begin{eqnarray}f^{\prime}(x)\left\{\begin{array}{c}\lt 0,x\in (a-{\varepsilon}_{1},a)\,\,\text{für}\,\text{ein}\,{\varepsilon}_{1}\gt 0\\ \gt 0,x\in (a,a+{\varepsilon}_{2})\,\,\text{f}\mathrm{\ddot{u}}\text{r}\,\text{ein}\,{\varepsilon}_{2}\gt 0\end{array}\right.\end{eqnarray} keine für das Vorliegen eines Minimums notwendige Bedingung ist.

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Grüss-Funktion
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Grüss-Funktion

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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