einer elliptischen Kurve auf folgende Weise zugeordnete Invariante.

Es sei k der Grundkörper. Wenn seine Charakteristik ≠ 2 und ≠ 3 ist, so läßt sich die Kurve so in \({{\mathbb{P}}}^{2}\) einbetten, daß sie in affinen Koordinaten durch eine Gleichung \begin{eqnarray}{y}^{2}={x}^{3}+ab+b\end{eqnarray} definiert ist. Dann ist \begin{eqnarray}j=1728\frac{4{a}^{3}}{4{a}^{3}+27{b}^{2}}.\end{eqnarray} Zu jedem j gibt es bis auf Isomorphie genau eine Kurve mit j als Invariante. Diese Invariante hat folgende Eigenschaft: Wenn S Noethersches Schema ist und \(X\mathop{\to }\limits^{\varphi }S\) ein glatter eigentlicher Morphis- mus, dessen geometrische Fasern elliptische Kurven sind, so gibt es genau einen Morphismus j : \(S\to {{\mathbb{A}}}_{{\mathbb{Z}}}^{1}\), der in geometrischen Punkten von S die j-Invariante der entsprechenden Faser ist. Dieser Morphismus ist mit dem in der Abbildung skizzierten Basiswechsel verträglich (d. h. der zu X′|S′ gehörige Morphismus ist j ∘ f).

Analoges gilt in der analytischen Kategorie. Hier hat man insbesondere die analytische Familie \begin{eqnarray}X={\mathbb{C}}\times \unicode{x210C}/{{\mathbb{Z}}}^{2}\mathop{\to }\limits^{\pi }\unicode{x210C}=\text{obere Halbebene,}\end{eqnarray} wobei ℤ² durch (z, τ) + (a, b) = (z + a + bτ, τ) auf ℂ × \(\begin{eqnarray}\unicode{x210C}\end{eqnarray}\) (durch gebrochen lineare Transformationen). Sie besitzt deshalb eine Fourier-Entwicklung (wegen j(τ +1) = j(τ)), diese hat ganzzahlige Koeffizienten (daher der Faktor 1728 = 12³), und mit q = e^2πiτ ist der Anfang der Fourier-Entwicklung gleich \(X\mathop{\to }\limits^{\pi }B\) ist j zunächst außerhalb der Menge der kritischen Werte von π definiert. Bemerkenswert ist, daß sich j zu einer meromorphen Funktion auf die Kurve bzw. Riemannsche Fläche B fortsetzen läßt.