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Lexikon der Mathematik: Kardinalität einer Fuzzy-Menge

Mächtigkeit einer Fuzzy-Menge, definiert als \begin{eqnarray}${\rm{card}}(\mathop A\limits^ \sim )=|(\mathop A\limits^ \sim )|=\displaystyle \sum _{x\in X}{\mu }_{A}(x),\end{eqnarray} wobei X eine endliche Menge ist.

Die Größe \({\rm{card}}_{X}(\mathop A\limits^ \sim )=\Vert (\mathop A\limits^ \sim )\Vert =\frac{|\mathop A\limits^ \sim |}{|x|}\) wird als relative Kardinalität bezeichnet.

Für eine kontinuierliche Menge X mit einem Inhaltsmaß P ist die Kardinalität einer Fuzzy-Menge à auf X definiert als \begin{eqnarray}{\rm{card}}(\mathop A\limits^ \sim )=|\mathop A\limits^ \sim |=\displaystyle \int\limits_X{\mu }_{A}(x)dP,\end{eqnarray} und die relative Kardinalität als \begin{eqnarray}{\rm{card}}_{X}(\mathop A\limits^ \sim )=\Vert \mathop A\limits^ \sim \Vert =\frac{\displaystyle \int\limits_X {\mu }_{A}(x)dP}{\displaystyle \int\limits_X 1\,dP}\end{eqnarray}

Ist X ⊆ ℝn, so nimmt man als Inhaltsmaß das gewöhnliche n-dimensionale Integral, d. h. für n = 1 das Maß dP = dx. Natürlich dürfen die Kardinalitätsdefinitionen bei kontinuierlichen Mengen X nur für Fuzzy-Teilmengen mit integrierbarer Zugehörigkeitsfunktion verwendet werden.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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