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Lexikon der Mathematik: Krein-Milman-Eigenschaft

die Eigenschaft eines Banachraums, daß jede abgeschlossene beschränkte konvexe Teilmenge einen Extremalpunkt besitzt.

Es folgt dann, daß jede solche Menge der Normabschluß der konvexen Hülle ihrer Extremalpunkte ist. Der Satz von Krein-Milman garantiert diese Eigenschaft für kompakte konvexe Mengen:

Es seien V ein reeller separierter und lokalkonvexer topologischer Vektorraum und A eine konvexe und kompakte Teilmenge von V.

Dann ist die Menge A die abgeschlossene konvexe Hülle der Menge ihrer Extremalpunkte.

Beispiele von Banachräumen mit der Krein-Milman-Eigenschaft sind alle reflexiven Räume, alle Unterräume separabler Dualräume (wie z. B. 1 oder der Raum der nuklearen Operatoren N(2))oder, allgemeiner, Räume mit der Radon-Nikodym-Eigenschaft. Es ist ein offenes Problem, ob die Krein-Milman-Eigenschaft und die Radon-Nikodym-Eigenschaft sogar äquivalent sind.

[1] Bourgin, R.: Geometric Aspects of Convex Sets with the Radon-Nikodym Property. Springer Berlin/Heidelberg/New York, 1983.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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