Maximum-Likelihood-Quotiententest, ein von J. Neyman und E.S. Pearson 1928 entwickelter Test zum Prüfen statistischer Hypothesen.

Sei X eine Zufallsgröße mit der Verteilungsfunktion F_γ, die bis auf einen Parameter(vektor) γ ∈ Γ ⊆ ℝ^k, k ≥ 1, bekannt ist. Sei f_γ (x) die Verteilungsdichte von X (diese ist ebenfalls bis auf den Parameter γ unbekannt). Der Likelihood-Quotiententest ist ein spezieller statistischer Hypothesentest zum Prüfen der Hypothesen

\begin{eqnarray}H:\gamma \in {\Gamma }_{0}\,\text{gegen}\,K:\gamma \in {\Gamma }_{1}=\Gamma \backslash {\Gamma }_{1}.\end{eqnarray}

Die Teststatistik zum Prüfen der Hypothesen beruht auf dem sogenannten Likelihood-Quotienten. Sei \(\overrightarrow{X}=({X}_{1}\ldots {X}_{n})\) eine mathematische Stichprobe von X. Der Likelihood-Quotient wird mit Hilfe der Likelihood-Funktion

\begin{eqnarray}L(\overrightarrow{X},\gamma )=f\gamma (\overrightarrow{X})=\displaystyle \prod _{i=1}^{n}{f}_{\gamma }({X}_{i})\end{eqnarray}

gebildet. Die Teststatistik des Likelihood-Quotiententests lautet

\begin{eqnarray}T=T(\overrightarrow{X})=\frac{{\sup }_{\gamma \in {\Gamma }_{0}}L(\overrightarrow{X},\gamma )}{{\sup }_{\gamma \in {\Gamma }_{1}}L(\overrightarrow{X},\gamma )}.\end{eqnarray}

Die Teststatistik wird mit einem kritischen Wert ϵ verglichen, wobei ϵ für jede konkrete Verteilung F_γ so gewählt wird, daß der Fehler erster Art des Tests höchstens gleich dem Signifikanzniveau α ist, d. h. daß gilt:

\begin{eqnarray}P(T\lt \varepsilon /\rmH\,\text{gilt}\,)\le \alpha. \end{eqnarray}

Ist für eine konkrete Stichprobe \(\begin{array}{cc}\overrightarrow{x} & T\lt \varepsilon \end{array}\), so wird H abgelehnt (K angenommen), andernfalls wird H angenommen.

Im Spezialfall einfacher Hypothesen Γ₀ = {γ₀} und Γ₁ ={γ₁} ergibt sich für den Likelihood-Quotienten

\begin{eqnarray}T=\frac{{f}_{0}(X)}{{f}_{1}(X)},\end{eqnarray}

wobei f_i die Dichte der (stetigen) Zufallsgröße X bei Vorliegen von γ_i,(i = 0, 1), bezeichnet. Der Likelihood-Quotiententest stellt dann entsprechend dem Fundamentallemma von Neyman-Pearson einen besten α-Test für H : γ = γ₀ gegen K : γ = γ₁ dar.

Mitunter wird anstelle von (1) der Likelihood-Quotient durch

\begin{eqnarray}T=T(\overrightarrow{X})=\frac{{\sup }_{\gamma \in {\Gamma }_{0}}L(\overrightarrow{X},\gamma )}{{\sup }_{\gamma \in \Gamma }L(\overrightarrow{X},\gamma )}\end{eqnarray}

definiert. Es folgt dann 0 ≤ T ≤ 1, und für den kritischen Wert ϵ gilt 0 < ϵ < 1.

Wenn die Maximum-Likelihood-Schätzungen γ̂_(n) für γ ∈ Γ und γ̂_(n,0) für γ₀ ∈ Γ₀ existieren, d. h. wenn gilt

\begin{eqnarray}L(\overrightarrow{X},{\hat{\gamma }}_{(n)})=\mathop{\sup }\limits_{\gamma \in \Gamma }L(\overrightarrow{X},\gamma )\end{eqnarray}

und

\begin{eqnarray}L(\overrightarrow{X},{\hat{\gamma }}_{(n,0)})=\mathop{\sup }\limits_{\gamma \in {\Gamma }_{0}}L(\overrightarrow{X},\gamma ),\end{eqnarray}

so lautet der Likelihood-Quotient

\begin{eqnarray}T=T(\overrightarrow{X})=\frac{L(\overrightarrow{X},{\hat{\gamma }}_{(n,0)})}{L(\overrightarrow{X},{\hat{\gamma }}_{(n)})}.\end{eqnarray}

Obwohl die Konstruktion von Likelihood-Quotienten-Tests nicht generell zu Tests mit optimalen Güteeigenschaften führt, liefert sie in diesem Fall häufig Tests mit relativ einfach zu berechnenden Teststatistiken und günstigen asymptotischen Eigenschaften. Diese beruhen auf der Tatsache, daß die Größe − log(T) für die in (3) gegebene Teststatistik T unter bestimmten Voraussetzungen asymptotisch für n → ∞ eine χ²-Verteilung besitzt.

[1] Witting, H., Nölle, G.: Angewandte Mathematische Statistik. B.G.Teubner Verlagsgesellschaft Stuttgart Leipzig, 1970.