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Lexikon der Mathematik: Lokal-Global-Prinzip der Zahlentheorie

im wesentlichen der Inhalt des Satzes von MinkowskiHasse.

Bei manchen diophantischen Gleichungen kann man zeigen, daß sie genau dann eine (ganzzahlige oder rationale) Lösung besitzen, wenn sie reell lösbar sind und die entsprechenden Kongruenzen modulo aller Primzahlpotenzen lösbar sind.

Eine Ausformulierung des Lokal-Global-Prinzips für quadratische Formen ist der Satz von Minkowski-Hasse:

Sei f eine quadratische Form in n Unbestimmten mit ganzen Koeffizienten. Dann ist die Gleichung \begin{eqnarray}f({x}_{1},\ldots,{x}_{n})=0\end{eqnarray}genau dann in den ganzen Zahlen lösbar, wenn sie in den reellen Zahlen lösbar ist und die Kongruenz \begin{eqnarray}f({x}_{1},\ldots,{x}_{n})\equiv 0\,\,\,\,\,\mathrm{mod}\,{p}^{m}\end{eqnarray}für jede Primzahlpotenz pm eine Lösung besitzt, bei der mindestens ein Wert der Unbestimmten nicht durch p teilbar ist.

In diesem Zusammenhang nennt man das Bilden der Äquivalenzklassen modulo pm „Lokalisieren“. Lösungen der Kongruenz heißen dementsprechend „lokale Lösungen“, während Lösungen der Ausgangsgleichung als „globale Lösungen“ bezeichnet werden; dies erklärt den Ausdruck „Lokal-GlobalPrinzip“.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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