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Lexikon der Mathematik: Lusin, Satz von

lautet:

Es seien Ω und Ω′ Hausdorffräume, wobei Ω′ eine abzählbare Basis besitzt, μ ein σ-endliches Borel-reguläres Maß auf \( {\mathcal B} \text{(}{\rm{\Omega }}\text{)}\), und f : Ω → Ω′ eine Abbildung.

Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

  1. Es gibt eine \(\text{(} {\mathcal B} \text{(}{\rm{\Omega }})-{\mathcal B} \text{(}{\rm{\Omega }}^{\prime} \text{))}\)-meßbare Abbildung g : Ω → Ω′ mit f = g fast überall bzgl. μ
  2. Zu jedem offenen O ⊆ Ω mit μ(O) < ∞ und zu jedem π > 0 existiert eine kompakte Menge KO mit μ(O\K) < ϵ so, daß f, eingeschränkt auf K, stetig ist bzgl. der Spurtopologie auf K.
  3. Zu jedem \(A\in {\mathcal B} \text{(}{\rm{\Omega }}\text{)}\)mit μ(A) < ∞ undzu jedem ϵ > 0 existiert eine kompakte Menge KA mit μ(A\K) < ϵ so, daß f, eingeschränkt auf K, stetig ist bzgl. der Spurtopologie auf K.
  4. Zu jeder kompakten Menge K1 ⊆ Ω und zu jedem ϵ > 0 existiert eine kompakte Menge K2K1mit μ(K1\K2) < ϵ so, daß f, eingeschränkt auf K2, stetig ist bzgl. der Spurtopologie auf K2.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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