Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: Multiplikation von Folgen

die auf dem Raum der reellen oder komplexen Zahlenfolgen durch

\begin{eqnarray}({a}_{n})\cdot ({b}_{n})=({a}_{n}\cdot {b}_{n})\quad\quad\quad (({a}_{n}),({b}_{n})\in \ell )\end{eqnarray}

erklärte Abbildung · : × . Die Produktfolge (an)(bn) ist also die Folge der Produkte anbn. Da Zahlenfolgen auf ℕ definierte ℝ- oder ℂ-wertige Funktionen sind, ist die Multiplikation von Folgen ein Spezialfall der Multiplikation von ℝ- bzw. ℂ- wertigen Funktionen. Das Produkt aus einer Nullfolge und einer beschränkten Zahlenfolge ist eine Nullfolge. Das Produkt zweier beschränkter Zahlenfolgen ist eine beschränkte Zahlenfolge. Das Produkt zweier konvergenter Zahlenfolgen (an), (bn) ist konvergent mit

\begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }{a}_{n}{b}_{n}=\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }{a}_{n}\cdot \mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }{b}_{n}.\end{eqnarray}

Eine Multiplikation läßt sich ebenso allgemeiner erklären für beliebige Folgen, in deren gemeinsamem Zielbereich eine Multiplikation gegeben ist, wie z.B. in einer Halbgruppe (H, ·). Hat man im Zielbereich noch eine Division /, wie z. B. in einer Gruppe, so kann man durch

\begin{eqnarray}({a}_{n})/({b}_{n})=({a}_{n}/{b}_{n})\end{eqnarray}

auch die Division von Folgen (an), (bn) zur Quotientenfolge (an)/(bn) erklären. Der Quotient zweier konvergenter Zahlenfolgen (an), (bn) mit bn ≠ 0 für n ∈ ℕ und \(\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }\quad{b}_{n}\ne 0\) ist konvergent mit

\begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}=\frac{\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }{a}_{n}}{\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }{b}_{n}}.\end{eqnarray}

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnervideos