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Lexikon der Mathematik: Normalteiler

normale Untergruppe, Untergruppe NG einer Gruppe G mit der Eigenschaft, daß für jedes gG gilt: \begin{eqnarray}Ng=gN.\end{eqnarray}

Es existiert noch eine ganze Reihe anderer äquivalenter Definitionen des Begriffs Normalteiler:

Ein Normalteiler N einer Gruppe G mit neutralem Element e ist eine solche Untergruppe, für die die Menge der Rechtsnebenklassen G/N zusammen mit der induzierten Gruppenoperation eine Gruppe bilden. Diese wird dann Faktorgruppe genannt, und es gilt G/N = {Ng|gG}. Die Linksnebenklassen sind {gN|gG}, und in obiger Definition kann man Rechts- durch Links- ersetzen.

Eine äquivalente Definition eines Normalteilers ist: Die Rechtsnebenklassen und die Linksnebenklassen stimmen überein.

Ferner gilt: Eine Untergruppe H von G ist genau dann ein Normalteiler, wenn sie eine invariante Untergruppe ist. Dabei heißt H invariant, wenn zu jedem gG gilt: g−1Hg = H.

Die Untergruppen G und {e} von G sind stets Normalteiler, sie werden triviale Normalteiler genannt. Ein Gruppe, die außer den trivialen keine weiteren Normalteiler enthält, heißt einfach.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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