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Lexikon der Mathematik: relationsendliche Garbe

kohärente Garbe mit einer Zusatzeigenschaft.

Sei \( {\mathcal R} \) eine Garbe von Ringen über einem topologischen Raum X und \( {\mathcal S} \) eine \( {\mathcal R} \)-Modulgarbe. Endlich viele Schnitte \({s}_{1},\ldots,{s}_{p}\in {\mathcal{S}}(U)\) definieren einen \({ {\mathcal R} }_{U}\)-Garbenhomomorphismus \(\sigma :{ {\mathcal R} }_{U}^{p}\to {{\mathcal{S}}}_{U}\), \begin{eqnarray}({a}_{1x},\ldots,{a}_{px})\to \sigma ({a}_{1x},\ldots,{a}_{px}):=\mathop{\sum ^{p}}\limits_{i=1}{a}_{ix}{s}_{ix},\end{eqnarray}x ∈ U. Der \({ {\mathcal R} }_{U}\)-Untermodul \begin{eqnarray}\text{Rel}({s}_{1},\ldots,{s}_{p}):=Ker\,\sigma ={\bigcup }_{x\in U}\left\{({a}_{1x},\ldots,{a}_{px})\in { {\mathcal R} }_{x}^{p}:\mathop{\sum ^{p}}\limits_{i=1}{a}_{ix}{s}_{ix}=0\right\}\end{eqnarray} von \({ {\mathcal R} }_{U}^{p}\) heißt der Relationenmodul von s1, …,sp. Man nennt \({\mathcal{S}}\) relationsendlich in xX, wenn für jede offene Umgebung U von x und für beliebige Schnitte \({s}_{1},\ldots,{s}_{p}\in {\mathcal{S}}(U)\) die Relationengarbe Rel(s1,…,sp) stets endlich in x ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn für jeden Garbenhomomorphismus \(\sigma :{ {\mathcal R} }_{U}^{p}\to {{\mathcal{S}}}_{U}\) die Garbe Ker σ endlich in x ist. Eine \( {\mathcal R} \)-Garbe \({\mathcal{S}}\) heißt relationsendlich, falls \({\mathcal{S}}\) in jedem Punkt xX relationsendlich ist.

Untergarben relationsendlicher Garben sind relationsendlich. Hingegen sind Faktorgarben relationsendlicher Garben i. allg. nicht relationsendlich. Ferner gibt es endliche Garben, die nicht relationsendlich sind, und umgekehrt.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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