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Lexikon der Mathematik: selbstorganisierende Karte

SOM, (engl. self- organizing map), Kohonen-Abbildung, bezeichnet eine spezielle Abbildung, die in Zusammenhang mit der Kohonen-Lernregel auftritt, bzw. im engeren Sinne die topologische Visualisierung dieser Abbildung.

Im folgenden wird das Prinzip einer selbstorganisierenden Karte an einem einfachen Beispiel (diskrete Variante) erläutert: Aus einer abgeschlossenen konvexen nichtleeren Teilmenge \(A\subset {{\mathbb{R}}}^{n}\) werden gemäß einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeitsverteilung zufällig Vektoren xA ausgewählt, die in insgesamt j Cluster eingeordnet werden sollen. Dazu werden zunächst ebenfalls zufällig sogenannte Klassifikationsvektoren w(i)A, 1 ≤ ij, generiert, die die einzelnen Cluster repräsentieren sollen und aus diesem Grunde auch kurz als Cluster-Vektoren bezeichnet werden. Die Justierung der Cluster-Vektoren in Abhängigkeit von den zu klassifizierenden Vektoren geschieht nun im einfachsten Fall wie folgt, wobei λ ∈ (0, 1) ein noch frei zu wählender Lernparameter ist: Im s-ten Schritt zur Klassifikation des s-ten zufällig gewählten Vektors xA berechne jeweils ein Maß für die Entfernung von x zu allen Cluster-Vektoren w(i), 1 ≤ ij (z. B. über den Winkel, den euklidischen Abstand, o.ä.). Schlage x demjenigen Cluster zu, dessen Cluster-Vektor die geringste Entfernung von x hat. Falls mehrere Cluster-Vektoren diese Eigenschaft besitzen, nehme das Cluster mit dem kleinsten Index. Falls der so fixierte Cluster-Vektor den Index i hat, ersetze ihn durch w(i) +λ(x−w(i)), d. h. durch eine Konvexkombination des alten Cluster-Vektors mit dem neu klassifizierten Vektor; alle übrigen Cluster-Vektoren bleiben unverändert.

Iteriere dieses Vorgehen mehrmals, erniedrige λ Schritt für Schritt und breche den Algorithmus ab, wenn z. B. eine gewisse Anzahl von Iterationsschritten durchlaufen worden sind. Die Abbildung K : AA, die nun nach Beendigung des Klassifizierungsprozesses jedem Vektor xA seinen im obigen Sinne eindeutig bestimmten Cluster-Vektor \({w}^{(i)},i\in \{1,\mathrm{\ldots}j\}\), zuordnet (gemäß kleinste Entfernung und ggfs. zusätzlich kleinster Index), wird Kohonen-Abbildung (oder auch (Kohonen-)Karte) genannt. Ferner wird der Prozeß ihrer Entstehung im Sinne des oben beschriebenen algorithmischen Vorgehens häufig als selbstorganisierende Karte bezeichnet, wobei allerdings in der einschlägigen Literatur die Übergänge zwischen den Begriffen Kohonen-Lernregel, (selbstorganisierende) (Kohonen-)Karte und Kohonen-Abbildung vielfach fließend sind.

Siehe auch Clusteranalyse und Kohonen-Lernregel.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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