James-Steinsche Schätzung, von W. James und C. Stein eingeführte spezielle Punktschätzung für den Erwartungswert(vektor) zufälliger Variabler.

Sei \(\overrightarrow{Y}\) ein k-dimensionaler normalverteilter Vektor, \(\overrightarrow{Y}\sim{N}_{k}(\overrightarrow{\mu},{I}_{k})\), mit dem unbekannten Erwartungswertvektor \(\overrightarrow{\mu}\in {{\mathbb{R}}}^{k}\) und der Kovarianzmatrix I_k (k-dimensionale Einheitsmatrix). Sei weiterhin \begin{eqnarray}{\delta}^{c}(\overrightarrow{Y})=\left(1-\frac{(k-2)}{\parallel \overrightarrow{Y}{\parallel}^{2}}c\right)\overrightarrow{Y},\,\,\,\text{mit}\ \parallel \overrightarrow{Y}{\parallel}^{2}=\mathop{\sum ^{k}}\limits_{i=1}{Y}_{i}^{2}\end{eqnarray} eine Schätzfunktion zur Schätzung von \(\overrightarrow{\mu}\). Aus der Entscheidungstheorie ist bekannt, daß die Schätzfunktion \({\delta}^{0}(\overrightarrow{Y})=\overrightarrow{Y}\) die BUE (Best Unbiased Estimator), d. h. die beste erwartungstreue und auch Minimax-Schätzung bzgl. des Risikos \begin{eqnarray}\begin{array}{ll}R(\overrightarrow{\mu},\delta) & ={E}_{\overrightarrow{\mu}}\parallel \delta (\overrightarrow{Y})-\overrightarrow{\mu}{\parallel}^{2}\\ & = \mathop{\sum}\limits_{i=1}^{k}{E}_{\overrightarrow{\mu}}{(\delta (\overrightarrow{Y})-{{\mu}}_{i})}^{2}\end{array}\end{eqnarray} ist. Stein zeigte 1956, daß δ⁰ bei k ≥ 3 durch eine nichterwartungstreue Schätzung δ* im Sinne von \begin{eqnarray}R(\overrightarrow{\mu},\delta *)\lt R(\overrightarrow{\mu}),{\delta}^{0})=k\end{eqnarray} verbessert werden kann. James und Stein zeigten wenig später, daß die anstelle von δ^* verwendete einfachere Schätzfunktion δ¹ gleichmäßig besser als eine BUE ist. Diese war die erste als Steinsche Schätzfunktion bzw. James-Stein-Schätzung bezeichnete Schätzung.

Eine detaillierte Darstellung der Theorie Steinscher Schätzungen enthält [1], wobei auch unbekannte Kovarianzmatrizen, multivariate Modelle und allgemeinere quadratische Risikofunktionen betrachtet werden. Es werden hier auch Vergleiche zwischen verschiedenen James-Stein-Schätzungen durchgeführt, und der Zusammenhang zu Bayesschen Schätzungen beschrieben.

[1] K.M.S. Humak: Statistische Methoden der Modellbildung Band I. Akademie-Verlag Berlin, 1977.