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Lexikon der Mathematik: Tensorprodukt von Moduln

darstellender Modul für die Bilinearformen.

Sei R ein Ring, und seien M und N R–Moduln. Dann ist das Tensorprodukt MR N ein R–Modul mit der folgenden universellen Eigenschaft: Es existiert eine bilineare Abbildung λ : M ×NMRN. Wenn φ : M × NP eine bilineare Abbildung ist, dann existiert ein eindeutig bestimmter Homomorphismus h : MRNP so, daß hλ = φ ist.

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Tensorprodukt von Moduln
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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Tensorprodukt von Moduln

Das Tensorprodukt wird in diesem Fall wie folgt konstruiert. MR N ist der Quotient des freien R-Moduls, erzeugt durch {mn : mM, nN}, nach dem Untermodul erzeugt durch \begin{eqnarray}\begin{array}{l}\{(am+bn)\otimes (cp+dp)-ac\cdot m\otimes p\\\quad -ad\cdot m\otimes q-bc\cdot n\otimes p-bd\cdot n\otimes q\\\qquad :a,b,c,d\in R,m,n\in M,p,q\in N\}.\end{array}\end{eqnarray}

Wenn S eine R–Algebra ist, dann ist MR S ein S– Modul mit der Multiplikation s · ms′ = mss′. Eine wichtige Eigenschaft des Tensorprodukts ist die Beziehung zum Funktor Hom: Die kanonische Abbildung \begin{eqnarray}\phi :{\text{Hom}}_{R}(M{\otimes}_{R}N,P)\to {\text{Hom}}_{R}(M,{\text{Hom}}_{R}(N,P)),\end{eqnarray}

definiert durch ϕ(λ)(m)(n) = λ(mn), ist ein Isomorphismus.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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