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Lexikon der Mathematik: Theorie der Verzweigungsprozesse

Theorie, deren Gegenstand stochastische Prozesse bilden, welche die Vermehrung und Umwandlung von Teilchen beschreiben, wobei sich die einzelnen Teilchen unabhängig voneinander vermehren und verändern. Derartige Prozesse heißen Verzweigungsprozesse.

Zur Illustration betrachten wir eine Population, die zu Beginn (in der 0-ten Generation) aus einem Mitglied besteht, das 0, 1, 2,… Nachkommen mit Wahrscheinlichkeiten von p0, p1, p2,… besitzt. In jeder weiteren Generation hat jedes Mitglied der Population wiederum mit den gleichen Wahrscheinlichkeiten eine entsprechende Zahl von Nachkommen. Es wird nun angenommen, daß, bei bekannter Größe der Population in der n-ten Generation, das Wahrscheinlichkeitsgesetz, welches die Entwicklung späterer Generationen bestimmt, nicht von der Größe der Population in den der n-ten Generation vorausgegangenen Generationen beeinflußt wird. Weiterhin wird angenommen, daß die Anzahl der Nachkommen eines Mitglieds der Population nicht durch die anderen Mitglieder in der Population beeinflußt wird.

Dieses Modell wurde Ende des 19. Jahrhunderts von F. Galton und H. W. Watson betrachtet, um die Wahrscheinlichkeit für das Aussterben gewisser Familiennamen zu bestimmen. Der zugehörige stochastische Prozeß \({({X}_{n})}_{n\in {{\mathbb{N}}}_{0}}\) heißt Galton-Watson-Prozeß und ist eine zeitlich homogene Markow-Kette auf einem Wahrscheinlichkeitsraum \(({\rm{\Omega}},\ {\mathfrak{A}},\ P)\) mit Zustandsraum ℕ0 und diskreter Zeit. Die Zufallsvariable Xn gibt die Größe der Population in der n-ten Generation an, so daß insbesondere X0 ≡ 1 gilt. Aufgrund der obigen Voraussetzungen sind die Übergangswahrscheinlichkeiten pij = P(Xn+1 = j|Xn = i) für i, j ∈ ℕ0 und i > 0 durch \begin{eqnarray}{p}_{ij}=\displaystyle \sum _{{k}_{1}+\cdots +{k}_{i}=j}{p}_{{k}_{1}}\cdot \cdots \cdot {p}_{{k}_{i}}\end{eqnarray} gegeben. Für i = 0 definiert man p0j = ϵ0 ({j}) für alle j ∈ ℕ0, wobei ϵ0 das Dirac-Maß in 0 bezeichnet. Der Zustand 0 ist offensichtlich absorbierend und wird dahingehend interpretiert, daß die Population ausstirbt. Hier, wie bei Verzweigungsprozessen allgemein, interessiert man sich für die Aussterbewahrscheinlichkeit q, die Momente und Verteilungen der Xn und das Verhalten des Prozesses für den Fall, daß die Population nicht ausstirbt. Unter den Annahmen pk < 1 für alle k ∈ ℕ0, p0 + p1 < 1 und E(X1) < ∞ kann man für E(X1) ≤ 1 zeigen, daß q = 1 gilt. Für E(X1) > 1 ist q die eindeutig bestimmte nicht-negative Lösung kleiner oder gleich 1 der Gleichung s = f (s), wobei f die erzeugende Funktion von X1 bezeichnet. Es zeigt sich, daß die Population nur aussterben oder explodieren, d. h. beliebig groß werden kann.

Allgemeiner werden Verzweigungsprozeße mit mehreren Teilchentypen betrachtet. Dabei nimmt man wieder an, daß sich jedes Teilchen unabhängig von den anderen entwickelt und in Teilchen verschiedener Typen umwandeln kann. Ein Beispiel stellen kosmische Strahlenschauer dar, bei denen sich Teilchen in Protonen und Neutronen umwandeln können.

Neben Prozessen mit diskreter werden auch solche mit stetiger Zeit betrachtet. Fortgeschrittene Aspekte der Theorie beschäftigen sich u. a. mit der Modellierung von Alterungseffekten der Teilchen, wobei zur Modellierung der Verteilungen der Lebenszeiten z. B. Exponentialverteilungen, verwendet werden. Im letztgenannten Fall sind die Verzweigungsprozesse keine Markow-Prozesse. Ein besonders wichtiges Hilfsmittel der Theorie stellen die erzeugenden Funktionen und ihre Verallgemeinerungen, sogenannte erzeugende Funktionale, dar. Verzweigungsprozesse werden u. a. zur Beschreibung (der Anfangsstadien) von chemischen und physikalischen Kettenreaktionen verwendet. Zur Beschreibung biologischer Phänomene sind Verzweigungsprozesse aufgrund der für sie charakteristischen Annahme, daß sich jedes Teilchen unbeeinflußt von den anderen vermehrt, nur bedingt geeignet.

[1] Harris, T. E.: The theory of branching processes. Springer Berlin, 1963.
[2] Sewastjanow, B. A.: Verzweigungsprozesse. R. Oldenbourg Verlag München, 1975.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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