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Lexikon der Mathematik: total positive Matrix

rechteckige Matrix, bei der alle Minoren beliebiger Ordnung positiv sind:

Eine rechteckige Matrix \begin{eqnarray}A={(({a}_{i,j}))}_{\begin{array}{c}i=1,\ldots,m\\ j=1,\ldots,n\end{array}}\in {{\mathbb{R}}}^{m\times n}\end{eqnarray} heißt total positiv (oder vollständig positiv), falls für alle k ∈ {1, …, min{m, n}} gilt: \begin{eqnarray}A\ \left(\begin{array}{llll}{i}_{1} & {i}_{2} & \ldots & {i}_{k}\\ {j}_{1} & {j}_{2} & \ldots & {j}_{k}\end{array}\right)\gt 0\end{eqnarray} für 1 ≤ i1 < … ikm und 1 ≤ j1 < … jkn.

Hierbei bezeichnet \begin{eqnarray}A\ \left(\begin{array}{llll}{i}_{1} & {i}_{2} & \ldots & {i}_{k}\\ {j}_{1} & {j}_{2} & \ldots & {j}_{k}\end{array}\right)\end{eqnarray} den Minor der Ordnung k von A mit Indizes i1, …, ik und j1, …, jk, das heißt, die Determinante der Untermatrix \({({a}_{{i}_{l},{j}_{p}})}_{l,p=1,\ldots,k}\in {{\mathbb{R}}}^{k\times k}\) von A.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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