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Lexikon der Mathematik: unbegrenzt teilbare Verteilung

unbeschränkt teilbare Verteilung, unendlich teilbare Verteilung, Verteilung PX einer reellen Zufallsvariable X, die für jedes n ∈ ℕ als n-faches Faltungsprodukt eines Wahrscheinlichkeitsmaßes μn mit sich selbst dargestellt werden kann, d. h., für jedes n ∈ ℕ gilt \begin{eqnarray}{P}_{X}=\mathop{\underbrace{{\mu}_{n}\ast \cdots \ast {\mu}_{n}}}\limits_{n\ {\rm{Faktoren}}}.\end{eqnarray}

Man nennt X dann auch eine unendlich teilbare Zufallsgröße. Die Verteilung PX von X ist genau dann unbegrenzt teilbar, wenn X für jedes n ∈ ℕ als Summe von n unabhängigen, identisch verteilten Zufallsvariablen dargestellt werden kann.

Eine weitere äquivalente Charakterisierung der unbegrenzt teilbaren Verteilungen ist mit Hilfe der charakteristischen Funktionen möglich. Danach ist PX genau dann unbegrenzt teilbar, wenn die zugehörige charakteristische Funktion φX für jedes n ∈ ℕ als n-te Potenz \({\phi}_{X}={\phi}_{n}^{n}\) einer bestimmten charakteristischen Funktion φn dargestellt werden kann. Die charakteristische Funktion φn ist dabei eindeutig bestimmt. Beispiele unbegrenzt teilbarer Verteilungen sind die Cauchy-, Gamma- und Poisson-Verteilung sowie die Normalverteilung und die negative Binomialverteilung. Die charakteristischen Funktionen unbegrenzt teilbarer Verteilungen sind durch die Lévy-Chinčin-Darstellung charakterisiert, wonach φ genau dann die charakteristische Funktion einer unbegrenzt teilbaren Verteilung ist, wenn \begin{eqnarray}\begin{array}{l}\mathrm{ln}\,\phi (t)=it\beta -\frac{{t}^{2}{\sigma}^{2}}{2}\\ \quad \quad\, \ +\displaystyle \underset{-\infty}{\overset{\infty}{\int}}\left({e}^{itx}-1-\frac{itx}{1+{x}^{2}}\right)\frac{1+{x}^{2}}{{x}^{2}}v(dx)\end{array}\end{eqnarray} gilt, wobei β ∈ ℝ und σ2 ≥ 0 ist, sowie v ein endliches Maß auf der Borel-σ-Algebra \({\mathfrak{B}}({\mathbb{R}})\) mit v({0}) = 0 bezeichnet.

Wie der folgende Satz zeigt, kommt den unbegrenzt teilbaren Verteilungen eine besondere Bedeutung bei der Charakterisierung der Grenzverteilungen von Partialsummen \({S}_{n}=\displaystyle {\sum}_{k=1}^{n}{X}_{n,k}\) zu, wobei für jedes n ∈ ℕ eine endliche Folge Xn,1, … ,Xn,n unabhängiger und identisch verteilter Zufallsgrößen gegeben ist.

Ein auf \({\mathfrak{B}}({\mathbb{R}})\)definiertes Wahrscheinlichkeitsmaß Q ist genau dann der Grenzwert einer in Verteilung konvergenten Folge (Sn)n∈ℕvon Partialsummen der beschriebenen Art, wenn es unbegrenzt teilbar ist.

Der Begriff der unendlich teilbaren Verteilung und die Lévy-Chinčin-Darstellung können auf höhere Dimesionen verallgemeinert werden.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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