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Lexikon der Mathematik: Weingarten, Ableitungsgleichung von

die Darstellung der Matrix der ↗Weingartenabbildung bezüglich einer Parameterdarstellung einer regulären Fläche ⊂ ℝ3 durch die Koeffizienten der ↗ersten und ↗zweiten Gaußschen Fundamentalform.

Es sei Φ(u1, u2) eine Parameterdarstellung von und \(\mathfrak{n}\) der Einheitsnormalenvektor, dessen Orientierung so gewählt sei, daß er mit den Tangen-tialvektoren Φ1 = Φ/∂u1 und Φ2 = Φ/∂u2 an die Koordinatenlinien ein Rechtssystem bildet. Aus ⟨\(\mathfrak{n}\), \(\mathfrak{n}\)⟩ = 1 folgt für i = 1 und i = 2 die Gleichung ⟨∂\(\mathfrak{n}\)/∂ui, \(\mathfrak{n}\)⟩ = 0, sodaß ∂\(\mathfrak{n}\)/∂ui auf \(\mathfrak{n}\) senkrecht steht und folglich ein Vektor der Tangentialebene ist. Er besitzt daher eine Darstellung als Linearkombination

\begin{eqnarray}\displaystyle \frac{{{\partial }_{\mathfrak{n}}}}{\partial {{u}_{i}}}={{a}_{i1}}{{\Phi }_{1}}+{{a}_{i1}}{{\Phi }_{2}}.\end{eqnarray}

Faßt man die Koeffizienten dieser Linearkombination zu einer Matrix A = (aij) zusammen, so ergibt sich A als Produkt der Matrix der zweiten mit der Inversen der Matrix der ersten Gaußschen Fundamentalform:

\begin{eqnarray}A=-\left( \begin{array}{*{35}{l}} L & M \\ M & N \\ \end{array} \right)\,\,{{\left( \begin{array}{*{35}{l}} E & F \\ F & G \\ \end{array} \right)}^{-1}}.\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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