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Lexikon der Mathematik: Yang-Mills-Funktional

wichtiger Begriff in der Theorie der Riemannschen Mannigfaltigkeiten.

Die Yang-Mills-Theorie ist eine (i. a. nichtlineare) Verallgemeinerung der Hodge-Theorie. Sei E ein Vektorbündel über einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit M mit Bündelmetrik ⟨·,·⟩, und sei D ein metrischer Zusammenhang auf E. Der Krümmungsoperator FD von D werde mit Hilfe des Krümmungstensors R als ein Element von Ω2 (EndE) betrachtet: \begin{eqnarray}{F}_{D}:{\Omega}^{0}(E)\to {\Omega}^{2}(E),\mu \mapsto R(.,.)\mu.\end{eqnarray}

Ω2 (Ad E) bezeichne den Raum derjenigen Elemente von Ω2 (EndE), für die der Endomorphismus von jeder Faser schiefsymmetrisch ist.

Ist D = d + A ein metrischer Zusammenhang auf E, dann gilt A ∈ Ω1 (Ad E), und für den Krümmungsoperator von D gilt FD ∈ Ω2Ad E.

Sei nun M eine kompakte orientierte Riemannsche Mannigfaltigkeit, E ein Vektorbündel mit einer Bündel-Metrik über M, und sei D ein metrischer Zusammenhang auf E mit Krümmungsoperator FD ∈ Ω2 (Ad E). Dann ist das Yang-Mills-Funktional, angewandt auf D, definiert durch \begin{eqnarray}YM(D):=({F}_{D},{F}_{D})=\displaystyle \mathop{\int}\limits_{M}\langle {F}_{D},{F}_{D}\rangle * (1).\end{eqnarray}

Dabei sei ∗(1) := e1 ∧…∧ en für eine positive Basis von E.

D heißt Yang-Mills-Zusammenhang, wenn für den dualen Operator gilt \begin{eqnarray}D* {F}_{D}=0.\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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