Das Konzept der Unendlichkeit hat schon immer zu Schwierigkeiten geführt: Philosophen und Theologen zerbrechen sich seit Jahrhunderten den Kopf darüber – ganz zu schweigen von Mathematikern, denen es erst im 19. Jahrhundert gelang, mit den unvorstellbaren Größen zu arbeiten. Tatsächlich stießen sie dabei schon früh auf verschiedene Arten von Unendlichkeiten, doch lange wussten sie nicht, wie man diese beschreiben oder miteinander vergleichen sollte.

In den 1870er Jahren gelang dem deutschen Mathema­tiker Georg Cantor schließlich der Durchbruch. Indem er Mengen mit unendlich vielen Elementen untersuchte, konnte er ihre Größen voneinander unterschieden und begründete dabei die moderne Mengenlehre, auf der inzwischen die gesamte Mathematik fußt.

Dieser Schritt ging aber nicht problemlos vonstatten. Wissenschaftler mussten eine Sammlung so genannter Axiome formulieren – unbeweisbare Aussagen, aus denen alle mathematischen Zusammenhänge folgen sollten, ohne dabei Widersprüche zu produzieren. Diese anspruchsvolle Aufgabe ist inzwischen größtenteils gelöst. Seit Beginn des 20. Jahrhunderts nutzt man ein System von Axiomen, genannt ZFC, das bisher widerspruchsfrei ist und eine umfangreiche Theorie der Unendlichkeiten umfasst.

Dennoch hat die moderne Mengenlehre Schwachstellen. Wie Kurt Gödel Anfang des 20. Jahrhunderts zeigte, gibt es grundlegende Fragen, die sich mit ihr nicht beantworten lassen, man kann sie weder beweisen noch widerlegen. Logiker versuchen daher die Theorie zu erweitern, um zumindest einige der hartnäckigen Rätsel zu lösen …