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Logik: Das fehlende Puzzleteil

Gibt es eine Menge, die größer ist als die natürlichen Zahlen, aber kleiner als die reellen? Diese grundlegende Frage gehört zu den unbeweisbaren Problemen der Mathematik. Experten suchen deshalb nach neuen Gesetzen, die das mathematische Grundgerüst ergänzen und diese Unentscheidbarkeit aus dem Weg räumen.
Unendlichkeit

Das Konzept der Unendlichkeit hat schon immer zu Schwierigkeiten geführt: Philosophen und Theologen zerbrechen sich seit Jahrhunderten den Kopf darüber – ganz zu schweigen von Mathematikern, denen es erst im 19. Jahrhundert gelang, mit den unvorstellbaren Größen zu arbeiten. Tatsächlich stießen sie dabei schon früh auf verschiedene Arten von Unendlichkeiten, doch lange wussten sie nicht, wie man diese beschreiben oder miteinander vergleichen sollte.

In den 1870er Jahren gelang dem deutschen Mathema­tiker Georg Cantor schließlich der Durchbruch. Indem er Mengen mit unendlich vielen Elementen untersuchte, konnte er ihre Größen voneinander unterschieden und begründete dabei die moderne Mengenlehre, auf der inzwischen die gesamte Mathematik fußt.

Dieser Schritt ging aber nicht problemlos vonstatten. Wissenschaftler mussten eine Sammlung so genannter Axiome formulieren – unbeweisbare Aussagen, aus denen alle mathematischen Zusammenhänge folgen sollten, ohne dabei Widersprüche zu produzieren. Diese anspruchsvolle Aufgabe ist inzwischen größtenteils gelöst. Seit Beginn des 20. Jahrhunderts nutzt man ein System von Axiomen, genannt ZFC, das bisher widerspruchsfrei ist und eine umfangreiche Theorie der Unendlichkeiten umfasst.

Dennoch hat die moderne Mengenlehre Schwachstellen. Wie Kurt Gödel Anfang des 20. Jahrhunderts zeigte, gibt es grundlegende Fragen, die sich mit ihr nicht beantworten lassen, man kann sie weder beweisen noch widerlegen. Logiker versuchen daher die Theorie zu erweitern, um zumindest einige der hartnäckigen Rätsel zu lösen …

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  • Quellen

Cavitt, J.: Set-theoretic geology, the ultimate inner model, and new axioms. Harvard University, 2017

Heller, M., Woodin, H.: Infinity: New Research Frontiers. Cambridge University Press, 2011

Rittberg, C.: How Woodin changed his mind: New thoughts on the Continuum Hypothesis. Archive for History of Exact Sciences 69, 2015

Woodin, H.: In search of ultimate-L. Bulletin of Symbolic Logic 23, 2017

Woodin, H.: Strong axioms of infinity and the search for V. Proceedings of the International Congress of Mathematicians 2010, World Scientific, 2011

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