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Mathematische Unterhaltungen: Harmonische Reihen und der Salzkristall

Man addiert eine große Anzahl positiver und negativer Zahlen, und das Ergebnis ist – beliebig? Das kann bei unendlich vielen Summanden in der Tat vorkommen. Wenn aber die unendliche Summe einen physikalischen Sachverhalt wiedergibt, stellt sich die Frage, wie die Natur ihren Wert bestimmt.
Ein Löffel mit Salz

Zum Abschluss des Geschäftsjahrs muss der Finanzbuchhalter seinen Vorgesetzten, den Controllern, die gesammelten Einnahmen und Ausgaben vorlegen. Schlimmer noch: Diese erwarten, dass die Gesamtbilanz zumindest ungefähr der in der Planung vorgegebenen Zahl entspricht. An den Daten selbst gibt es nichts zu manipulieren; die einzige Freiheit, die der Buchhalter hat, besteht in der Reihenfolge, in der er die Zahlen vorlegt. Der Con­troller addiert die einzelnen Posten auf, sowie sie genannt werden, und zwar mit wechselnden Vorzeichen, denn der Buchhalter präsentiert Einnahmen und Ausgaben in bunter Mischung, allerdings beide nach Größe geordnet: Stets ist die aktuell angegebene Ausgabe kleiner als alle vorigen; das­selbe gilt für die Einnahmen.

Wundersamerweise nähert sich die Summe, die der Controller auf seinem Taschenrechner hat, immer mehr dem vorgegebenen Zielwert. Und als sein Gegenüber bei den Kleckerbeträgen in der Größenordnung von wenigen Cent angelangt ist, lässt er es gut sein und quittiert die Zielerreichung, obgleich in der Liste der Posten kein Ende abzusehen ist.

Das geht? Ja, und zwar mit jeder beliebigen Zielvorgabe. Der Buchhalter kann mit ein und demselben Daten­material sowohl einen sagenhaften Gewinn ausweisen als auch einen katastrophalen Verlust, der Heuschrecken-Investoren das Weite suchen lassen würde …

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Spektrum - Die Woche – Geopolitische Orientierungssuche am Amazonas

Klimakonferenz: COP30 in Belém zeigt die geopolitische Neuordnung – die USA fehlen, China muss Position beziehen. Wer zahlt für den Regenwald? Und warum sorgt ein Fonds für Streit? Außerdem in »Die Woche«: Die Eisbachwelle macht schlapp, CO₂ soll in den Meeresboden und die Geschichte der Toilette.

Spektrum der Wissenschaft – Eine Theorie von allem: Lassen sich Quantenphysik und Schwerkraft vereinen?

Lassen sich Quantenphysik und Schwerkraft vereinen? In der aktuellen Ausgabe der PMT haben wir Beiträge für Sie zusammengestellt, in denen Forscherinnen und Forscher über die Ergebnisse ihrer Suche nach einer fundamentalen Theorie unserer Welt berichten. Entstanden ist eine erkenntnisreiche Sammlung an Beiträgen über die Quantennatur der Raumzeit, denkbaren Experimenten zum Nachweis von Gravitonen, Schwarzen Löchern, der Theorie der Quantengravitation, teleparalleler Gravitation und vielem mehr. Lesen Sie, welche Fortschritte es in den letzten Jahren gab, die Gesetze der Quantenwelt mit den geometrischen Konzepten von Raum und Zeit zu vereinigen, und welche Hürden dabei noch zu überwinden sind.

Spektrum - Die Woche – Quantenphysik auf einen Chip gebannt

Die Nobelpreise in Physiologie oder Medizin, Physik und Chemie sind vergeben. In »Die Woche« stellen wir die ausgezeichneten Entdeckungen vor. Außerdem zeigen wir, dass große Forschung nicht nur Fortschritt bedeutet: Manche preisgekrönte Arbeiten der Vergangenheit waren Fluch und Segen zugleich.

  • Quellen und Literaturtipp

Borwein, D. et al.:Convergence of lattice sums and Madelung’s constant. Journal of Mathematical Physics 26, 1985

Gilula, M.:A Class of Simple Rearrangements of the Alternating Harmonic Series. The American Mathematical Monthly 125, 2018


Literaturtipp

Baker, A. D. et al.:Corner ion, edge-center ion, and face-center ion Madelung expressions for sodium chloride. Journal of Mathematical Chemistry 49, 2011
Die alternierende harmonische Reihe im NaCl-Kristall

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