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Mathematische Unterhaltungen: Harmonische Reihen und der Salzkristall

Man addiert eine große Anzahl positiver und negativer Zahlen, und das Ergebnis ist - beliebig? Das kann bei unendlich vielen Summanden in der Tat vorkommen. Wenn aber die unendliche Summe einen physikalischen Sachverhalt wiedergibt, stellt sich die Frage, wie die Natur ihren Wert bestimmt.
Ein Löffel mit Salz

Zum Abschluss des Geschäftsjahrs muss der Finanzbuchhalter seinen Vorgesetzten, den Controllern, die gesammelten Einnahmen und Ausgaben vorlegen. Schlimmer noch: Diese erwarten, dass die Gesamtbilanz zumindest ungefähr der in der Planung vorgegebenen Zahl entspricht. An den Daten selbst gibt es nichts zu manipulieren; die einzige Freiheit, die der Buchhalter hat, besteht in der Reihenfolge, in der er die Zahlen vorlegt. Der Con­troller addiert die einzelnen Posten auf, sowie sie genannt werden, und zwar mit wechselnden Vorzeichen, denn der Buchhalter präsentiert Einnahmen und Ausgaben in bunter Mischung, allerdings beide nach Größe geordnet: Stets ist die aktuell angegebene Ausgabe kleiner als alle vorigen; das­selbe gilt für die Einnahmen.

Wundersamerweise nähert sich die Summe, die der Controller auf seinem Taschenrechner hat, immer mehr dem vorgegebenen Zielwert. Und als sein Gegenüber bei den Kleckerbeträgen in der Größenordnung von wenigen Cent angelangt ist, lässt er es gut sein und quittiert die Zielerreichung, obgleich in der Liste der Posten kein Ende abzusehen ist.

Das geht? Ja, und zwar mit jeder beliebigen Zielvorgabe. Der Buchhalter kann mit ein und demselben Daten­material sowohl einen sagenhaften Gewinn ausweisen als auch einen katastrophalen Verlust, der Heuschrecken-Investoren das Weite suchen lassen würde …

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  • Quellen und Literaturtipp

Borwein, D. et al.: Convergence of lattice sums and Madelung’s constant. Journal of Mathematical Physics 26, 1985

Gilula, M.: A Class of Simple Rearrangements of the Alternating Harmonic Series. The American Mathematical Monthly 125, 2018


Literaturtipp

Baker, A. D. et al.: Corner ion, edge-center ion, and face-center ion Madelung expressions for sodium chloride. Journal of Mathematical Chemistry 49, 2011
Die alternierende harmonische Reihe im NaCl-Kristall