Direkt zum Inhalt
Login erforderlich
Dieser Artikel ist Abonnenten mit Zugriffsrechten für diese Ausgabe frei zugänglich.

Mathematische Unterhaltungen: Harmonische Reihen und der Salzkristall

Man addiert eine große Anzahl positiver und negativer Zahlen, und das Ergebnis ist – beliebig? Das kann bei unendlich vielen Summanden in der Tat vorkommen. Wenn aber die unendliche Summe einen physikalischen Sachverhalt wiedergibt, stellt sich die Frage, wie die Natur ihren Wert bestimmt.
Ein Löffel mit Salz

Zum Abschluss des Geschäftsjahrs muss der Finanzbuchhalter seinen Vorgesetzten, den Controllern, die gesammelten Einnahmen und Ausgaben vorlegen. Schlimmer noch: Diese erwarten, dass die Gesamtbilanz zumindest ungefähr der in der Planung vorgegebenen Zahl entspricht. An den Daten selbst gibt es nichts zu manipulieren; die einzige Freiheit, die der Buchhalter hat, besteht in der Reihenfolge, in der er die Zahlen vorlegt. Der Con­troller addiert die einzelnen Posten auf, sowie sie genannt werden, und zwar mit wechselnden Vorzeichen, denn der Buchhalter präsentiert Einnahmen und Ausgaben in bunter Mischung, allerdings beide nach Größe geordnet: Stets ist die aktuell angegebene Ausgabe kleiner als alle vorigen; das­selbe gilt für die Einnahmen.

Wundersamerweise nähert sich die Summe, die der Controller auf seinem Taschenrechner hat, immer mehr dem vorgegebenen Zielwert. Und als sein Gegenüber bei den Kleckerbeträgen in der Größenordnung von wenigen Cent angelangt ist, lässt er es gut sein und quittiert die Zielerreichung, obgleich in der Liste der Posten kein Ende abzusehen ist.

Das geht? Ja, und zwar mit jeder beliebigen Zielvorgabe. Der Buchhalter kann mit ein und demselben Daten­material sowohl einen sagenhaften Gewinn ausweisen als auch einen katastrophalen Verlust, der Heuschrecken-Investoren das Weite suchen lassen würde …

Kennen Sie schon …

Spektrum Kompakt – Mathe in der Popkultur

Die Simpsons sind bekannt dafür, Dinge vorherzusagen – wie die Masse des Higgs-Bosons. In vielen Filmen, Serien und Computerspielen steckt Mathematik, die begeistert oder im Fall von »Good Will Hunting« ärgert. Wie konnte ein Bug in »Doom« in der Zeit zurückreisen? Und sind Katzen eine Flüssigkeit?

Spektrum MINT – Rechnen mit Zukunft

Die neue Ausgabe »Spektrum MINT« mit diesen Themen: der Einfluss von Mathematik auf alle Lebensbereiche und die Industrie, E-Autos als Energiespeicher zur Unterstützung der Stromnetze, wie KI zukünftig unsere Arbeitswelt beeinflussen wird und die Renaturierung unserer Meere mit Weltraumtechnik.

Spektrum - Die Woche – Wenn KI der Mathematik den Takt vorgibt

Von Menschen erdachte Beweise und Argumente mit KI zu überprüfen, könnte Forschenden viel Zeit sparen. Jetzt wurde eine Lösung vorgestellt – die Fachwelt bleibt skeptisch. Außerdem: Neuseeländische Eulenpapageien, die Bibel der Psychiatrie und ein Alpensee offenbart Jahrtausende alte Geschichte.

  • Quellen und Literaturtipp

Borwein, D. et al.:Convergence of lattice sums and Madelung’s constant. Journal of Mathematical Physics 26, 1985

Gilula, M.:A Class of Simple Rearrangements of the Alternating Harmonic Series. The American Mathematical Monthly 125, 2018


Literaturtipp

Baker, A. D. et al.:Corner ion, edge-center ion, and face-center ion Madelung expressions for sodium chloride. Journal of Mathematical Chemistry 49, 2011
Die alternierende harmonische Reihe im NaCl-Kristall

Schreiben Sie uns!

Beitrag schreiben

Wir freuen uns über Ihre Beiträge zu unseren Artikeln und wünschen Ihnen viel Spaß beim Gedankenaustausch auf unseren Seiten! Bitte beachten Sie dabei unsere Kommentarrichtlinien.

Tragen Sie bitte nur Relevantes zum Thema des jeweiligen Artikels vor, und wahren Sie einen respektvollen Umgangston. Die Redaktion behält sich vor, Zuschriften nicht zu veröffentlichen und Ihre Kommentare redaktionell zu bearbeiten. Die Zuschriften können daher leider nicht immer sofort veröffentlicht werden. Bitte geben Sie einen Namen an und Ihren Zuschriften stets eine aussagekräftige Überschrift, damit bei Onlinediskussionen andere Teilnehmende sich leichter auf Ihre Beiträge beziehen können. Ausgewählte Zuschriften können ohne separate Rücksprache auch in unseren gedruckten und digitalen Magazinen veröffentlicht werden. Vielen Dank!

Bitte erlauben Sie Javascript, um die volle Funktionalität von Spektrum.de zu erhalten.