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Hemmes mathematische Rätsel: Pandigitale Kilometerzähler

Wie viele Kilometer muss man mindestens fahren, bis der Kilometerzähler (oben) und der Tageskilometerzähler (unten) zusammen alle 10 Ziffern in beliebiger Reihenfolge zeigen?
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Der US-amerikanische Künstler, Autor und Puzzle- und Computerspielexperte koreanischer Abstammung Scott Kim wurde 1955 in Washington D. C. geboren. Das folgende Rätsel stammt aus seinem 2014 erschienenen »Little Big Book of Mind Benders«.

Ein Auto hat einen Kilometerzähler mit fünf Stellen vor dem Komma und einer Stelle danach und einen Tageskilometerzähler mit drei Stellen vor dem Komma und auch einer Nachkommastelle. Der Kilometerzähler springt wieder auf 0, wenn das Auto 100 000 Kilometer gefahren ist. Ebenso macht es der Tageskilometerzähler nach 1000 Kilometern, wenn man ihn nicht schon vorher durch Knopfdruck zurücksetzt.

Wenn der Kilometerzähler von links nach rechts die Zahlen von 1 bis 6 und der Tageskilometerzähler die von 1 bis 4 zeigt, wie viele Kilometer muss man dann mindestens fahren, bis die beiden Kilometerzähler zusammen alle zehn Ziffern in beliebiger Reihenfolge zeigen? Dabei darf der Tageskilometerzähler zwischendurch nicht durch Knopfdruck auf 0 gesetzt werden.

Angenommen, die Lösung wäre so klein, dass der Tageskilometerzähler nicht zwischendurch auf 0 springt. Dann beträgt die Differenz zwischen den beiden Kilometerzählern während der gesamten Fahrt 12345,6 – 123,4 = 12222,2. Der größtmögliche Wert des Tageskilometerzählers mit verschiedenen Ziffern ist 987,6 und führt zu einem maximalen Wert des Kilometerzählers von 12222,2 + 987,6 = 13209,8. Folglich kann der Kilometerzählerstand nur mit den Ziffer 12 oder 13 beginnen. Der Buchstabe E in der Subtraktion steht also für die 2 oder die 3.

Pandigitale Kilometerzähler

Versuchen wir es zunächst mit E = 2. In den letzten vier Spalten ist das Ergebnis der Subtraktion jeweils 2. Wenn es dort nirgends ein Übertrag gibt, ist die obere Ziffer stets um 2 größer als die mittlere. Somit muss über der 0 die 2 stehen, was aber ausgeschlossen ist, da diese schon für das E steht.

Also muss es einen Übertrag geben. Das ist nur in einem Fall möglich, nämlich, wenn unter der 0 die 8 steht. In drei der vier letzten Spalten müssen dann jeweils beide Ziffern über dem Strich entweder gerade oder ungerade sein. Nur links der Spalte, in der die 0 und die 8 stehen, beträgt die Differenz der beiden Ziffern 3. Somit stehen in ihr oberhalb des Strichs eine gerade und eine ungerade Ziffer. Die vier rechten Spalten enthalten also oberhalb des Strichs eine ungerade Zahl gerader Ziffern und eine ungerade Zahl ungerader Ziffern. Es stehen aber nur vier gerade und vier ungerade Ziffern zur Verfügung.

Folglich ist das E nicht die 2, sondern die 3. Daraus ergibt sich D = 0 oder D = 2. Im ersten Fall kann das d nur die 7 oder die 8 sein, im zweiten nur die 9. Nun findet man leicht, dass man 984,5 km – 123,4 km = 861,1 km fahren muss, bis erstmals alle Ziffern beider Kilometerzähler unterschiedlich sind.

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