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Freistetters Formelwelt: Die Mathematik der Ungleichheit

Diese Zahl zeigt, wie das Vermögen verteilt ist und wie viel Ungleichheit in der Gesellschaft herrscht. Ob das aber gerecht ist, kann die Mathematik allein nicht beantworten.
Schachfiguren neben unterschiedlich hohen Münzstapeln.

Die Zeit rund um den Jahreswechsel kann man damit verbringen, sich zu Hause mal so richtig zu erholen. Oder man muss sich mit Bürokratie beschäftigen und seine Steuerunterlagen des abgelaufenen Jahres auf den neuesten Stand bringen. Und wenn man das macht, denkt man unweigerlich über die eigene finanzielle Situation nach. Ob man sich wohlhabend oder gar reich fühlt, hängt sicherlich von der individuellen Situation ab.

Die legendärsten mathematischen Kniffe, die übelsten Stolpersteine der Physikgeschichte und allerhand Formeln, denen kaum einer ansieht, welche Bedeutung in ihnen schlummert: Das sind die Bewohner von Freistetters Formelwelt.
Alle Folgen seiner wöchentlichen Kolumne, die immer sonntags erscheint, finden Sie hier.

Aber da es dabei um konkrete Zahlen geht, lässt sich die Situation auch ganz objektiv einschätzen. Wer mehr als 600 000 Euro besitzt, gehört zu den reichsten 10 Prozent der Menschen in Deutschland. Mit einem Vermögen von über einer Million Euro gehört man zum reichsten Prozent, das – zumindest noch im Jahr 2017 – so viel Vermögen besitzt wie die ärmsten 75 Prozent der Deutschen.

Wenn ein Prozent der Bevölkerung so viel besitzt wie 75 Prozent, dann klingt das ein wenig unfair. Wenn es um Vermögen und gerechte Verteilung geht, dann wird die Debatte allerdings sehr schnell emotional. Daher ist es angeraten, sich zuerst ein vernünftiges mathematisches Fundament für die Diskussion zu schaffen. Zum Beispiel durch Lorenz-Kurven und den Gini-Koeffizient. Letzterer lässt sich durch eine Formel berechnen, die in ihrer Einfachheit einen falschen Eindruck der dahinter liegenden Komplexität erwecken kann.

Um die Hintergründe bei der Berechnung des Gini-Koeffizienten G zu verstehen, muss man mit der Lorenz-Kurve beginnen. Die hat der amerikanische Ökonom Max Otto Lorenz zu Beginn des 20. Jahrhunderts entwickelt, um das Ausmaß an Ungleichheit in Verteilungen zu veranschaulichen. Betrachten wir zum Beispiel folgende Verteilung an Vermögen innerhalb einer Bevölkerung: 1 Prozent besitzt 40 Prozent des gesamten Vermögens; 9 Prozent besitzen ein Viertel, 40 Prozent besitzen ein Drittel und die restlichen 50 Prozent haben zusammen nur 2 Prozent des Vermögens. Diese Zahlen entsprechend übrigens annähernd der Vermögensverteilung in Österreich.

Wie ungleich ist Österreich?

Nun zeichnen wir ein Diagramm, auf dessen x-Achse der Bevölkerungsanteil steht, und dazu auf der y-Achse der Anteil des Gesamtvermögens, den dieser Anteil besitzt. Es ist klar, dass die resultierende Kurve bei (0/0) starten und bei (1/1) enden muss. Niemand hat nichts und alle zusammen besitzen alles. Dazwischen aber wird es interessant. Der erste Datenpunkt in unserem Beispiel würde bei (0,5/0,02) liegen: 50 Prozent der Menschen haben zusammen 2 Prozent des Vermögens. Der nächste wird bei (0,9/0,35) eingetragen, da nun auch noch die 40 Prozent dazukommen, die insgesamt 33 Prozent des Vermögens besitzen (0,5 + 0,4 = 0,9 und 0,02 + 0,33 = 0,35). Und so weiter: Wir werden eine Kurve kriegen, die zuerst sehr langsam ansteigt, dann aber enorm steil nach oben zum Endpunkt (1/1) abbiegt.

Wäre das Vermögen exakt gleich verteilt, dann würde man auch eine exakt gerade Linie erhalten, die unter einem Winkel von 45 Grad von (0,0) nach (1,1) verläuft und auch als Linie der totalen Gleichheit bezeichnet wird. Die Lorenz-Kurve befindet sich immer darunter und um so mehr, je ungleicher die Verteilung ist. Oder anders gesagt: Die Fläche, die sich zwischen der Lorenz-Kurve und der Linie der totalen Gleichheit befindet, wird umso größer, je ungleicher das Vermögen ist. Genau das wird durch die Formel ausgedrückt. A ist die gesamte Fläche unter der Gleichheitslinie, B ist die Fläche unter der Lorenz-Kurve.

In Deutschland lag der Gini-Koeffizient im Jahr 2017 bei 0,83 – höher als in jedem anderen Land des Euro-Raums und höher als in den Jahren zuvor. Man kann durchaus über die Interpretation der Gini-Koeffizienten diskutieren; über die unterschiedlichen Arten, ihn zu berechnen, und die Qualität der zu Grunde liegenden Daten. Klar ist aber: Die Schere zwischen armen und reichen Menschen wird größer. Dieses Problem lässt sich mit Mathematik nur bedingt lösen.

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