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Lexikon der Mathematik: absolut konvergente Reihe

Reihe \(\displaystyle {\sum }_{v=0}^{\infty }{a}_{v}\), bei der die Reihe der Beträge \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{v=0}^{\infty }|{a}_{v}|\end{eqnarray} konvergent ist. Hierbei sei (an) eine Folge (reeller oder komplexer) Zahlen. (Allgemeiner kann dies zumindest für Folgen mit Werten in normierten Vektorräumen entsprechend definiert werden, wenn der Betrag |·| einfach jeweils durch die Norm || · || ersetzt wird. Dann muß aber für den nachfolgenden Satz Vollständigkeit vorausgesetzt werden.)

Die Konvergenzkriterien (z.B. absolut konvergente Reihen, Majorantenkriterium ) für absolut konvergente Reihen beruhen u. a. auf dem zentralen einfachen Satz:

Ist die Reihe \(\displaystyle {\sum }_{v=0}^{\infty }{a}_{v}\)absolut konvergent, dann ist sie konvergent, und es gilt \(|\displaystyle {\sum }_{v=0}^{\infty }{a}_{v}|\le \displaystyle {\sum }_{v=0}^{\infty }|{a}_{v}|\).

Eine absolut konvergente Reihe ist also stets konvergent, doch die Umkehrung gilt nicht: Mit dem Leibniz-Kriterium sieht man z. B. ganz leicht, daß die Reihe \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n}\frac{1}{n}\end{eqnarray} konvergent ist. Die Reihe der Beträge ist jedoch – als harmonische Reihe – nicht konvergent, die Reihe selbst also nicht absolut konvergent.

[1] Hoffmann, D.: Analysis für Wirtschaftswissenschaftler und Ingenieure. Springer-Verlag Berlin, 1995.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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