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Lexikon der Mathematik: affiner Teilraum

affiner Unterraum, Teilmenge YX eines affinen Raumes X, zu der ein Punkt xX und ein Untervektorraum UV des X zugrundeliegenden Vektorraumes V existieren, so daß gilt: \begin{eqnarray}Y & = & \{y\in X|\overrightarrow{xy}\in U\}\\ & = & \{x+u|u\in U\}=:x+U.\end{eqnarray}

Dabei gilt x + υ := y, falls \begin{eqnarray}\overrightarrow{xy}=\upsilon \end{eqnarray}.

Die Dimension des affinen Teilraumes x + UX ist eindeutig definiert als Dimension des Untervektorraumes U: \begin{eqnarray}\dim (x+U):=\dim U.\end{eqnarray}

Ebenso ist der Untervektorraum U durch Y eindeutig bestimmt. Es gilt: \begin{eqnarray}Y=y+U\, \rm{f} \ddot{u}\rm{r}\,\rm{alle} y\in Y.\end{eqnarray}

Der Durchschnitt einer beliebigen Familie von affinen Teilräumen eines affinen Raumes X ist selbst ein affiner Teilraum von X, daher existiert zu jeder Teilmenge YX eines affinen Raumes X ein kleinster Y enthaltender affiner Teilraum von X, der von Y aufgespannte oder erzeugte affine Teilraum (affine Hülle).

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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