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Lexikon der Mathematik: affiner Raum

genauer affiner Raum über einem Körper 𝕂, Tripel (X, V, φ) bestehend aus einer nichtleeren Menge X, einem Vektorraum V über einem Körper 𝕂 und einer Abbildung \begin{eqnarray}\phi :X\times X\to V;(x,y)\mapsto \phi (x,y)=:\overrightarrow{xy},\end{eqnarray}

für das die folgenden beiden Axiome gelten:

Für alle xX und υV existiert genau ein yX so, daß \begin{eqnarray}\upsilon =\overrightarrow{xy},\end{eqnarray}

und für alle x, y, 𝓏 ∈ X gilt \begin{eqnarray}\overrightarrow{xy}+\overrightarrow{y{\mathscr{z}}}=\overrightarrow{x{\mathscr{z}}}.\end{eqnarray}

Der Vektor \begin{eqnarray}\upsilon =\overrightarrow{xy}\in V\end{eqnarray} wird als der Verbindungsvektor von x und y bezeichnet.

Für jedes υV heißt die Abbildung XX; xy =: x + υ mit \begin{eqnarray}\overrightarrow{xy}=\upsilon \end{eqnarray} Translation oder Verschiebung um den Vektor υ; V heißt der Translationsvektorraum von X.

Etwas ungenau spricht man meist nur von dem affinen Raum X. Die Dimension von V wird auch als Dimension von X festgesetzt: \begin{eqnarray}\dim X:=\dim V.\end{eqnarray}

Ein Sonderfall ist der leere affine Raum X = ∅, dem kein Vektorraum zugeordnet ist und dessen Dimension −1 gesetzt wird.

Man kann alternativ auch folgende Definition geben: Ein affiner Raum ist eine Geometrie, die man erhält, wenn man aus einem projektiven Raum eine Hyperebene und alle ihre Unterräume entfernt. Jede affine Ebene ist auch ein affiner Raum. Alle anderen affinen Räume lassen sich beschreiben als Menge aller Punkte und Nebenklassen von Unterräumen eines Vektorraumes.

Wichtigstes Beispiel eines affinen Raumes ist der euklidische Raum.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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